Синтетический контроль ( англ. Synthetic control method , SCM ) — эконометрический метод анализа данных в рамках _en , позволяющий проводить _en в сравнительных кейс-стади . Метод направлен на оценку эффектов исследуемого воздействия (например, экономической реформы ) на примере небольшого числа кейсов с помощью моделирования их количественных показателей в гипотетической ситуации, где воздействие не было оказано, на основе ограниченного круга похожих наблюдений посредством присвоения этим переменным определённых весов.

Формальный вывод

Рассмотрим ${\displaystyle i}$ -й регион, или какой-то другой объект наблюдения, причём ${\displaystyle i=1,\dots ,J+1}$ , где ${\displaystyle J+1}$ — число регионов, среди которых 1 испытал на себе исследуемое воздействие, а остальные ${\displaystyle J}$ — нет, являясь контрольной группой (их совокупность называется «пулом доноров», англ. donor pool ), в период времени ${\displaystyle t}$ , где ${\displaystyle t=1,\dots ,T}$ .

Пусть исследуемое воздействие будет оказано в период ${\displaystyle T_{0}+1}$ , где ${\displaystyle 1\leq T_{0}<T}$ , и тогда ${\displaystyle T_{0}}$ — число периодов до воздействия. Обозначим отклик показателя в регионе ${\displaystyle i}$ в период времени ${\displaystyle t}$ в отсутствие исследуемого воздействия через ${\displaystyle Y_{it}^{N}}$ , а в его присутствие — ${\displaystyle Y_{it}^{I}}$ . Сделаем допущение о том, что при ${\displaystyle t=1\dots T_{0}}$ , ${\displaystyle Y_{it}^{N}=Y_{it}^{I}}$ : до наступления исследуемого воздействия, оно не оказывает эффекта на отклик в выбранном регионе. Также допустим, что воздействие, имевшее место в рассматриваемом регионе, не оказывает влияния на регионы из контрольной группы. Эффект исследуемого воздействия обозначим как ${\displaystyle a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}}$ . Поскольку воздействие имеет место только в ${\displaystyle i=1}$ и ${\displaystyle t>T_{0}}$ , целью SCM является определение ${\displaystyle a_{1t}=Y_{1t}^{I}-Y_{1t}^{N}}$ , где ${\displaystyle Y_{1t}^{I}=Y_{1t}}$ — собственно, наблюдаемый в рассматриваемом регионе показатель, а ${\displaystyle Y_{1t}^{N}}$ — ненаблюдаемый отклик, который можно представить в качестве следующей факторной модели :

${\displaystyle Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\epsilon _{it},}$

где ${\displaystyle \delta _{t}}$ — общий для всех регионов фактор, ${\displaystyle \mathbf {Z} _{i}}$ — вектор наблюдаемых, независимых от воздействия ковариат, ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{t}}$ — вектор их оценённых для данной выборки регионов коэффициентов, ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{t}}$ — вектор ненаблюдаемых латентных факторов, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{i}}$ — вектор соответствующих им факторных нагрузок и ${\displaystyle \epsilon _{it}}$ — специфичности, или шум. Эту модель можно переписать в виде:

${\displaystyle \sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\sum \limits _{j}w_{j}\epsilon _{it},}$

где ${\displaystyle w_{j}}$ — это ${\displaystyle j}$ -тое значение вектора ${\displaystyle \mathbf {W} =(w_{2},\dots ,w_{J+1})'}$ , такого, что ${\displaystyle \forall j:w_{j}>0\land \sum \limits _{j}w_{j}=1}$ . Метод синтетического контроля заключается в подборе такого набора весов ${\displaystyle ({\tilde {w}}_{2},\dots ,{\tilde {w}}_{J+1})'}$ , что при ${\displaystyle t\leq T_{0}}$ , ${\displaystyle \sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}=Y_{1t}}$ (то есть до воздействия веса сохраняют наблюдаемое значения отклика неизменным) и ${\displaystyle \sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}\mathbf {Z} _{j}=\mathbf {Z} _{1}}$ (и при этом эти веса позволяют точно моделировать ковариаты рассматриваемого региона через ковариаты регионов контрольной группы).

В литературе было показано, что если отклонения специфичностей ${\displaystyle \epsilon _{it}}$ незначительны при данном ${\displaystyle T_{0}}$ , размере периода до воздействия, ${\displaystyle Y_{1t}^{N}-\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}\to 0}$ , то есть разница между моделируемым, ненаблюдаемым откликом в отсутствие воздействия и взвешенным, но наблюдаемым в его присутствии, в таких условиях ничтожно. Соответственно, предлагается такая оценка эффекта воздействия ( ${\displaystyle a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}}$ ) ^:494-495 :

${\displaystyle {\hat {a}}_{1t}=Y_{1t}-\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}}$

Оптимизация алгоритма

С вычислительной точки зрения, расчёт искомых весов связан с минимизацией по вектору весов ${\displaystyle \mathbf {W} }$ нормы ${\displaystyle \|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|}$ , где ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}}$ — вектор значений ковариатов для исследуемого региона до момента ${\displaystyle T_{0}+1}$ , а ${\displaystyle \mathbf {X} _{0}}$ — матрица значений ковариатов для контрольных регионов. Вне зависимости от выбора исследователем положительно определённой матрицы ${\displaystyle \mathbf {V} }$ , оптимизируемая норма раскрывается как ${\displaystyle \|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|_{\mathbf {V} }={\sqrt {(\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )'\mathbf {V} (\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )}}}$ ^:496 .

Для того, чтобы получить конечное значение ${\displaystyle \mathbf {V} }$ , проводят по параметру ${\displaystyle \mathbf {V} }$ с использованием коэффициентом дисконтирования ${\displaystyle \beta }$ , повышающим вес недавних наблюдений. Эту оптимизацию можно описать следующим образом: ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{T}\beta ^{T-t}\left(Y_{1t}-\sum \limits _{j=2}^{J+1}{\tilde {W}}_{j}(V)Y_{jt}\right)^{2}\to min}$ , где ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {W} }}}$ — вектор минимальных весов, полученный на предыдущем этапе ^:616 .

Статистическая значимость результатов

Определение статистической значимости полученных оценок может быть проведено посредством различных техник. В статье 2003 года, оценивающей влияние терроризма и прочих проявлений политического насилия на экономику Страны Басков , рассчитанный эффект был подвергнут т. н. плацебо -тесту (placebo test), заключавшемуся в осуществлении идентичного алгоритма синтетического контроля к Каталонии , также известной своим значительным сепаратистским движением , но не испытывавшей проблем с террористическими проявлениями этого движения .

Плацебо-тесты в литературе, использующей метод синтетического контроля, являются примером непараметрических пермутационных тестов . Моделирование синтетического отклика для всех контрольных кейсов в выборке позволяет в явном виде работать с вероятностным распределением и проверять нулевую гипотезу об отсутствии казуальных эффектов в рассматриваемом кейсе. При этом нет необходимости асимптотически приближать распределение этих эффектов у контрольных кейсов к тому или иному распределению, что и делает тесты подобного типа пермутационными .

Синтетический контроль как метод предсказания

В литературе было предложено использовать SCM не только для оценки причинно-следственных связей, но и построения прогнозов. В рамках пилотного исследования была предпринята попытка спрогнозировать экономический рост в Соединённых Штатах Америки , однако использующийся для получения весов «пул доноров» состоял уже не из стран с похожими характеристиками, но из показателей экономического роста с определённым временным лагом ^:616 .

Синтетический контроль и другие методы

Синтетический контроль совмещает элементы других каузальных статистических методов: _en и _en .

По сравнению с разностью разностей синтетический контроль предлагает более упорядоченную процедуру подбора весов для наблюдений из контрольной группы, использует больший временной промежуток перед воздействием и требует максимально возможного приближения характеристик контрольной группы к характеристикам исследуемого объекта в ходе подбора весов.

Метод синтетического контроля обладает набором сходств с линейной регрессией . Так и синтетический контроль, и регрессионный анализ предполагают линейную комбинацию весов и переменных (в последнем веса, как правило, называются регрессионными коэффициентами), причём сумма весов равняется 1. Основным различием является то, что в SCM значения этих весов заключены в ${\displaystyle [0,~1]}$ , тогда как в регрессионном анализе такого ограничения нет и коэффициенты практически не интерпретируются как веса ^:498-499 Так контрфактуальная Германия из исследования 2015 года была «синтезирована» на основании подушного ВВП , уровня инвестиций, торговой открытости, количества школ и доли промышленности в прибавочном продукте Австрии (42%), США (22%), Японии (16%), Швейцарии (11%) и Нидерландов (9%) .

Симуляции показали, что панельный метод Сяо (фиксированные эффекты с эффектами взаимодействия ) для исследования каузальных эффектов является менее робастным к изменению в пуле доноров, нежели синтетический контроль, хотя использование обоих подходов приводит к удовлетворительным результатам. Отмечалось, что синтетический контроль является более предпочтительным, если у исследователя есть данные по дополнительным временным периодам ^:1001 .

Применение

Область применения метода синтетического контроля охватывает исследования политики в сфере здравоохранения , криминологию , политическую науку , различные разделы экономики .

В политологии SCM рассматривается как компромисс между конвенциональными количественными и качественными методами, позволяющий совмещать фокус на одном или нескольких кейсах со строгими критериями их подбора. Посредством этого метода изучались: экономический эффект от объединения Германии для собственно ФРГ , последствия _en для расходов на социальное обеспечение .

В географии SCM используется в исследованиях антропогенных ландшафтов (в рамках ) ^:513 .

В статистических пакетах

Существуют пакеты для анализа данных посредством метода синтетического контроля в статистическом программном обеспечением . Для языка R был разработан пакет Synth .

См. также

• Метод инструментальных переменных

Примечания