Задача о стопке кирпичей , также известна как проблема укладки блоков ( англ. Block-stacking problem ), наклонная башня лир ( англ. The Leaning Tower of Lire ), задача о складывании книг и т. д. — задача статики , заключающаяся в укладке прямоугольных блоков в башню, как можно дальше выдающуюся в сторону.

Формулировка

Проблема формулируется так:

Поставить друг на друга ${\displaystyle N}$ одинаковых твёрдых прямоугольных параллелепипедов , собрав устойчивую башню на краю стола таким образом, чтобы выступ за край был максимален.

История

Задача о стопке кирпичей имеет долгую историю как в механике, так и в математике. В своих статьях ( англ. ) и его соавторы приводят длинный список ссылок на эту проблему, о которой говорится в работах по механике, относящихся к середине девятнадцатого века .

Решения

С только одним блоком на каждом уровне

В идеальном случае с только одним идеально прямоугольным блоком на каждом уровне свес равен ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i}}}$ ширины блока . Эта сумма составляет половину частичной суммы гармонического ряда . Поскольку гармонический ряд расходится , максимальный свес стремится к бесконечности с ростом ${\displaystyle N}$ , т.е. можно достичь любого сколь угодно большого свеса при достаточном количестве блоков. В каждом конкретном случае максимальный свес приблизительно равен ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln N}$ , т.е. пропорционален натуральному логарифму числа блоков.

С несколькими блоками на любом из уровней

Дополнительные блоки на уровне могут использоваться как противовес и давать бо́льшие свесы, чем вариант с одним блоком на уровне. Даже для трех блоков укладка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес в один блок, в то время как в простом идеальном случае — не более ${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$ . В 2007 году Майк Патерсон с соавторами показали , что максимальный свес, который может быть достигнут с помощью нескольких блоков на уровне, асимптотически равен ${\displaystyle c{\sqrt[{3}]{N}}}$ , то есть пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от простого случая, когда свес пропорционален логарифму количества блоков.

См. также

• Черви Патерсона

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (неопр.) . (4 мая 2017). Дата обращения: 3 сентября 2018.
• Mike Paterson, Yuval Peres, Mikkel Thorup, Peter Winkler, and Uri Zwick. // American Mathematical Monthly. — 2009. — Vol. 116. — P. 763–787.