Гребень Дира́ка — это периодическое распределение Шварца , построенное из дельта-функций

${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$

для некоторого заданного периода ${\displaystyle T}$ .

Ряды Фурье

Очевидно, что ${\displaystyle \Delta _{T}(t)}$ периодическая с периодом ${\displaystyle T}$ . Поэтому

${\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)}$

для всех ${\displaystyle t}$ . Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции

${\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }$

где ${\displaystyle c_{n}}$ коэффициенты Фурье, равные

${\displaystyle c_{n}}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }$

В результате того, что все коэффициенты Фурье равны ${\displaystyle 1/T}$ , получаем окончательное выражение

${\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}$ .

Ссылки

• Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised ed.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Córdoba, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics , 17 : 191—196