Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел , обобщение великой теоремы Ферма : если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ , где ${\displaystyle A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle x,y,z>2}$ , то ${\displaystyle A,B,C}$ имеют общий простой делитель.

Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем ( англ. ), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов , а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов .

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ , а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма , поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма (доказанной в 1995 году Эндрю Уайлсом ).

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000 . 24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора .

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного :

Пусть существуют натуральные числа ${\displaystyle n>2}$ и ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ такие, что ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$ . Тогда гипотеза Била для ${\displaystyle x=y=z=n}$ влечёт существование простого числа ${\displaystyle p}$ , делящего каждое из чисел ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ . Но тогда ${\displaystyle (A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}}$ , а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$ , можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья ${\displaystyle n}$ -я степень является суммой ${\displaystyle n}$ -х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента , что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

Примечания

Ссылки

• от 15 марта 2009 на Wayback Machine
• от 20 февраля 2009 на Wayback Machine
• R. Daniel Mauldin. (англ.) // Notices of the AMS : journal. — 1997. — Vol. 44 , no. 11 . — P. 1436—1439 .
• (англ.) на сайте PlanetMath . (недоступная ссылка с 06-06-2013 [3887 дней])
• от 13 апреля 2014 на Wayback Machine — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.