Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа , факторкольцо , факторалгебра являются факторсистемами над группой , кольцом , алгеброй над полем соответственно.

Определение

Для алгебраической системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle }$ , ${\displaystyle F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle }$ , ${\displaystyle R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle }$ и бинарного отношения ${\displaystyle \sigma \subseteq A\times A}$ , являющегося конгруэнцией над ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , то есть, стабильного относительно каждой из основных операций ${\displaystyle f_{i}\in F}$ — из вхождения в отношение некоторого набора ${\displaystyle \forall _{j\in 1\dots {n_{i}}}(a_{j},b_{j})\in \sigma }$ следует выполнение ${\displaystyle (f(a_{1},\dots a_{n_{i}}),f(b_{1},\dots b_{n_{i}}))\in \sigma }$ — факторсистема строится как алгебраическая система ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\sigma }$ , с носителем ${\displaystyle A/\sigma }$ — фактормножеством над ${\displaystyle A}$ относительно конгруэнции ${\displaystyle \sigma }$ , следующим набором операций:

${\displaystyle \langle f_{1}^{\star }:(A/\sigma )^{n_{1}}\to A/\sigma ,\dots f_{n_{i}}^{\star }:(A/\sigma )^{n_{i}}\to A/\sigma ,\dots \rangle }$

и следующим набором отношений:

${\displaystyle \langle r_{1}^{\star }\subseteq (A/\sigma )^{m_{1}},\dots r_{m_{i}}^{\star }\subseteq (A/\sigma )^{m_{i}},\dots \rangle }$ ,

где ${\displaystyle ^{\star }}$ означает переход к классам смежности относительно конгруэнции ${\displaystyle \sigma }$ :

${\displaystyle f^{\star }([a_{1}]_{\sigma },\dots [a_{n}]_{\sigma })=[f(a_{1},\dots a_{n})]_{\sigma }}$ для операций и

${\displaystyle r^{\star }([a_{1}]_{\sigma },\dots [a_{m}]_{\sigma })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\sigma },\dots b_{m}\in [a_{m}]_{\sigma })r(b_{1},\dots b_{m})}$ для отношений

(класс смежности ${\displaystyle [a]_{\sigma }}$ — множество всех элементов, эквивалентных ${\displaystyle a}$ относительно ${\displaystyle \sigma }$ : ${\displaystyle \{b\in A\mid (a,b)\in \sigma \}}$ ).

Таким образом, факторсистема ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\sigma }$ является однотипной с системой ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ . В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

Свойства

Естественное отображение ${\displaystyle \phi :A\to A/\sigma }$ , ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: ${\displaystyle \phi (a)=[a]_{\sigma }}$ , является гомоморфизмом из ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ в факторсистему ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\sigma }$ .

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма ${\displaystyle \phi :{\mathfrak {A}}(A,F,R)\to {\mathfrak {A}}'(A',F',R')}$ и его ядерной конгурэнции ${\displaystyle \sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\}}$ естественное отображение ${\displaystyle \phi ^{\star }:{\mathfrak {A}}/\sigma _{\phi }\to {\mathfrak {A}}'}$ (то есть ${\displaystyle \phi ^{\star }([a]_{\sigma })=\phi (a)}$ ) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм ${\displaystyle \phi }$ является сильным , то есть для каждого предиката из ${\displaystyle r'_{k}\in R'}$ и любого набора элементов ${\displaystyle a'_{1},\dots a'_{n}\in A'}$ из утверждения ${\displaystyle (a'_{1},\dots a'_{n})\in r'_{k}}$ вытекает существование таких прообразов ${\displaystyle a_{1}\in \phi ^{-1}a'_{1},\dots a_{n}\in \phi ^{-1}a'_{n}}$ , что ${\displaystyle (a_{1},\dots a_{n})\in r_{k}}$ , то ${\displaystyle \phi }$ является изоморфизмом . Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов . Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

Примечания

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Кон П. . Универсальная алгебра. — М. : Мир , 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. . Алгебраические системы. — М. : Наука , 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
• Grätzer, George. . Universal Algebra. 2nd edition. — Springer , 2008. — 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2 .