Interested Article - Факторсистема
- 2020-12-02
- 1
Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).
Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа , факторкольцо , факторалгебра являются факторсистемами над группой , кольцом , алгеброй над полем соответственно.
Определение
Для алгебраической системы , , и бинарного отношения , являющегося конгруэнцией над , то есть, стабильного относительно каждой из основных операций — из вхождения в отношение некоторого набора следует выполнение — факторсистема строится как алгебраическая система , с носителем — фактормножеством над относительно конгруэнции , следующим набором операций:
и следующим набором отношений:
- ,
где означает переход к классам смежности относительно конгруэнции :
- для операций и
- для отношений
(класс смежности — множество всех элементов, эквивалентных относительно : ).
Таким образом, факторсистема является однотипной с системой . В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).
Свойства
Естественное отображение , ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: , является гомоморфизмом из в факторсистему .
Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма и его ядерной конгурэнции естественное отображение (то есть ) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм является сильным , то есть для каждого предиката из и любого набора элементов из утверждения вытекает существование таких прообразов , что , то является изоморфизмом . Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов . Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.
Примечания
- , с. 61-62.
- , Lemma 2, p. 36.
- , Теорема 1, с. 63—64.
Литература
- Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
- Кон П. . Универсальная алгебра. — М. : Мир , 1969. — 351 с.
- Мальцев А. И. . Алгебраические системы. — М. : Наука , 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
- Grätzer, George. . Universal Algebra. 2nd edition. — Springer , 2008. — 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2 .
- 2020-12-02
- 1