Смешанное произведение
в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно
определителю
матрицы
, составленной из векторов
и
, взятому со знаком «минус»:
В частности,
Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
Если три вектора
линейно зависимы
(т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение
по абсолютному значению равно объёму
параллелепипеда
(см. рисунок), образованного векторами
и
; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Квадрат смешанного произведения векторов равен
определителю Грама
, определяемому ими
:215
.
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
Обобщение
В
-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы
, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный
-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью
символа (тензора) Леви-Чивиты
соответствующей размерности: