Interested Article - Полунорма
![](/images/007/160/7160178/1.jpg?rand=439509)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/c47c0bf6019350b83ed57ee155d843bd.jpg)
- 2020-06-17
- 1
Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма ; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
Определение
Полунормой называется неотрицательная функция , в линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел , удовлетворяющая следующим условиям:
- Абсолютная однородность : для любого скаляра
- Неравенство треугольника : для всех
Пространство называется полунормированным пространством.
Свойства
-
Это свойство следует из первого условия определения и равенства
, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству
:
- (где следует из линейности )
- Это свойство также получается из первого условия при .
- Если предположить существование такого , что , то из первого условия определения следует, что и . Воспользовавшись вторым условием, получаем противоречие с первым свойством.
Литература
- Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М. , 1975.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/c47c0bf6019350b83ed57ee155d843bd.jpg)
- 2020-06-17
- 1