Область определения — множество , на котором задаётся функция . В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция, которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в другое множество, то множество ${\displaystyle X}$ называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция ${\displaystyle f}$ , которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ , то есть: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , то множество ${\displaystyle X}$ называется областью определения или областью задания функции ${\displaystyle f}$ и обозначается ${\displaystyle D(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$ (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве ${\displaystyle D}$ некоторого множества ${\displaystyle X}$ . В этом случае множество ${\displaystyle X}$ называется областью отправления функции ${\displaystyle f}$ .

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции . Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ;
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ,

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции ${\displaystyle f(x)=x}$ совпадает с областью отправления ( ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ).

Гармоническая функция

Область определения функции ${\displaystyle f(x)=1/x}$ представляет собой комплексную плоскость без нуля:

${\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}$

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0}$ .

Эти точки называются полюсами функции ${\displaystyle f}$ .

Так, функция ${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}}$ определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где ${\displaystyle x^{2}-4\neq 0}$ . Таким образом ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f}$ является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества .

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка .

Функционал

Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}$ — семейство отображений из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Тогда можно определить отображение вида ${\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} }$ . Такое отображение называется функционалом .

Если, например, фиксировать некоторую точку ${\displaystyle x_{0}\in ~X}$ , то можно определить функцию ${\displaystyle F(f)=f(x_{0})}$ , которая принимает в «точке» ${\displaystyle f}$ то же значение, что и сама функция ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

См. также

• Область значений функции

Примечания

Литература

• Функция, математический энциклопедический словарь . — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. . В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• , Л. Л. Максимова . Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. . — М. : Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X .
• А. Н. Колмогоров , С. В. Фомин . Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. . — М. : Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
• . Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. . — М. : Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• В. А. Зорич . Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М. : Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов . Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М. : Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров . // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М. : «Наука» , 1970. — № 1 . — С. 27—36 . — ISSN .