Обратимая функция — это функция , которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения .

Определение

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ такова, что для любого её значения ${\displaystyle y_{0}}$ уравнение ${\displaystyle f(x)=y_{0}}$ имеет относительно ${\displaystyle x}$ единственный корень , то говорят, что функция ${\displaystyle f}$ обратима .

Свойства

1. Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена и возрастает (или убывает ) на промежутке ${\displaystyle X}$ и областью её значений является промежуток ${\displaystyle Y}$ , то у неё существует обратная функция , причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на ${\displaystyle X}$ .
2. Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ задана формулой , то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение ${\displaystyle f(x)=y}$ относительно ${\displaystyle x}$ , а потом поменять местами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .
3. Если уравнение ${\displaystyle f(x)=y}$ имеет более одного корня, то функции, обратной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ , не существует.
4. Графики обратных функций симметричны относительно прямой ${\displaystyle y=x}$ .
5. Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ – функции, обратные друг другу, то ${\displaystyle E(f)=D(g)}$ , ${\displaystyle D(f)=E(g)}$ , где ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E}$ – области определения и значений соответственно.
6. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

Примеры

• Функция ${\displaystyle y=x^{2}}$ не является обратимой на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , но обратима при ${\displaystyle x\geqslant 0}$ или ${\displaystyle x\leqslant 0}$ .
• Функция ${\displaystyle \sin x}$ не является обратимой на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.

Примечания

См. также

• Обратная функция