Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста или состоятельные при гетероскедастичности и автокорреляции стандартные ошибки ( HAC s.e. — Heteroskedasticity and Autocorrelation consistent standard errors ) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы МНК-оценок (в частности и стандартных ошибок) параметров линейной модели регрессии, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая состоятельна при гетероскедастичности и автокорреляции случайных ошибок модели (в отличие от несостоятельной в этом случае классической оценки и стандартных ошибок в форме Уайта ).

Сущность и формула

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

${\displaystyle V({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(X^{T}VX)(X^{T}X)^{-1}}$

где ${\displaystyle V}$ — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда ${\displaystyle V=\sigma ^{2}I}$ ) формула упрощается

${\displaystyle {\hat {V}}({\hat {b}}_{OLS})={\sigma }^{2}(X^{T}X)^{-1}}$

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=RSS/(n-k)}$ , которая, как можно доказать, является несмещенной и состоятельной оценкой. При наличии гетероскедастичности, но без автокорреляции, матрица V диагональна и вместо этих диагональных элементов можно использовать квадраты остатков и получить состоятельные оценки ( стандартные ошибки в форме Уайта ). В общем случае, кроме гетероскедастичности, может иметь место также и автокорреляция некоторого порядка. Следовательно, кроме диагональных элементов, необходимо оценить внедиагональные элементы, отстоящие от диагонали на L . Ньюи и Уест (Newey, West, 1987) показали, что состоятельными являются оценки следующего вида:

${\displaystyle {\hat {V}}({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(\sum _{t=1}^{n}e_{t}^{2}x_{t}x_{t}^{T}+\sum _{j=1}^{L}\sum _{t=j+1}^{n}w_{j}e_{t}e_{t-j}(x_{t}x_{t-j}^{T}+x_{t-j}x_{t}^{T}))(X^{T}X)^{-1}}$

Данная оценка, как видно из формулы, зависит от выбранной «ширины окна» L и весовых коэффициентов ${\displaystyle w_{j}}$ . Простейший вариант выбора весов — выбрать их равными единице. Однако в этом случае не обеспечивается необходимая положительная определенность матрицы. Второй вариант — веса Бартлета ${\displaystyle w_{j}=1-j/(L+1)}$ . Однако более предпочтительным вариантом считаются веса Парзена:

${\displaystyle w_{j}={\begin{cases}1-6({\frac {j}{L+1}})^{2}+6({\frac {j}{L+1}})^{3}~,~~j\leqslant (L+1)/2\\2(1-{\frac {j}{L+1}})^{2}~,~~j>(L+1)/2\end{cases}}}$

Существует также проблема выбора «ширины окна» L. Обычно рекомендуется следующая оценка ${\displaystyle L=[4(n/100)^{2/9}]}$

Замечание

Иногда приведенную формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель ${\displaystyle n/(n-k)}$ . Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. также

• Стандартные ошибки в форме Уайта
• Обобщенный метод наименьших квадратов

Литература

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М. : Дело, 2004. — 576 с.
• William H. Greene. . — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.