Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем , для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова . Символическая динамика также возникает при рассмотрении .

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Пусть ${\displaystyle \Sigma _{s}^{+}}$ — пространство последовательностей в алфавите ${\displaystyle \{1,\dots ,s\}}$ , то есть,

${\displaystyle \Sigma _{s}^{+}=\{(\omega _{j})_{j=1}^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\}.}$

Сдвигом Бернулли называется динамическая система ${\displaystyle (\Sigma _{s}^{+},\sigma )}$ , где ${\displaystyle \sigma }$ — отображение левого сдвига,

${\displaystyle (\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{j+1}.\qquad (*)}$

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

${\displaystyle \Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{j=-\infty }^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\};}$

получающуюся динамическую систему ${\displaystyle (\Sigma _{s},\sigma )}$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли , а вторую двусторонним .

Сдвиг Маркова

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

${\displaystyle X=\bigsqcup _{i=1}^{N}B_{i},}$

любой точке ${\displaystyle x\in X}$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

${\displaystyle x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{i_{k}}.\qquad (*)}$

При этом для необратимых динамических систем последовательность ${\displaystyle (i_{k})}$ односторонняя, т.е. ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$ , а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ .

Отображение ${\displaystyle h:X\to \Sigma _{N}}$ или ${\displaystyle h:X\to \Sigma _{N}^{+}}$ , заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

${\displaystyle h\circ f=\sigma \circ h.}$

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве ${\displaystyle \Sigma _{N}}$ или на его части.

Свойства

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 31 мая 2015 )

Примеры

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 31 мая 2015 )

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Инвариантные меры

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 31 мая 2015 )

Литература

• П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
• В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
• Каток А. Б. , . Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО , 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1 .