Схема функциональной целостности (СФЦ) — это логически универсальное графическое средство структурного представления исследуемых свойств системных объектов. Описание аппарата схем функциональной целостности было впервые опубликовано в 1982 году . По построению аппарат СФЦ реализует все возможности алгебры логики в функциональном базисе «И», «ИЛИ» и «НЕ». СФЦ позволяют корректно представлять как все традиционные виды структурных схем (блок-схемы, , деревья событий, графы связности с циклами), так и принципиально новый класс немонотонных (некогерентных) структурных моделей различных свойств исследуемых систем. В настоящее время СФЦ применяются для построения структурных схем для расчета показателей надежности , стойкости, живучести, технического риска, реальной эффективности систем.

Графический аппарат схем функциональной целостности

СФЦ образуют её основные графические символы, которые включают в себя: два вида вершин (функциональная и фиктивная), два вида направленных ребер ( конъюнктивная дуга и дизъюнктивная дуга) и два вида выходов дуг из вершин (прямой и инверсный ).

Вершина

• 
  Функциональная
• 
  Фиктивная

• Функциональная вершина . Главное назначение функциональных вершин состоит в графическом обозначении одного из двух возможных исходов простого (бинарного) случайного события , сопоставленного элементу ${\displaystyle i}$ исследуемой системы. В логических моделях исходы бинарных событий представляются простыми логическими переменными ${\displaystyle \left\{x_{i},{\bar {x}}_{i}\right\}}$ , а в вероятностных моделях — вероятностями ${\displaystyle p_{i}}$ , ${\displaystyle q_{i}=1-p_{i}}$ , которые определяют собственные вероятности свершения простых случайных событий.

Примерами событий, представляемых функциональными вершинами в СФЦ могут быть:

• безотказность технического средства ${\displaystyle i~,}$ в течение заданного времени его работы (наработки);
• отказ технического средства в течение заданного времени работы;
• принятие (или не принятие) некоторого решения на определенном этапе управления системой;
• правильное выполнение функций (или ошибка) оператора в процессе или на определенном этапе управления системой;
• поражение (или не поражение) объекта ударом противника и т. п.

• Фиктивная вершина . Не представляет элементов системы, является вспомогательной, используется для удобства графического представления сложных логических связей и отношений между различными элементами системы.

Выход

Все непосредственно исходящие из вершины ${\displaystyle i}$ ребра в СФЦ обозначаются символом ${\displaystyle y_{i}}$ . Каждая такая дуга ${\displaystyle y_{i}}$ называется выходной или интегративной функцией и представляет все логические условия реализации (или не реализации) элементом ${\displaystyle i}$ своего функционального назначения в системе.

• 
  Прямой
• 
  Инверсный

• Прямой выход ребра из вершины, представляет собой условие реализации ${\displaystyle y_{i}}$ выходной (интегративной) функции соответствующим элементом.
• Инверсный выход ребра из вершины, представляет собой условие не реализации ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}}$ выходной (интегративной) функции соответствующим элементом ( логический оператор «НЕ» ).

Ребро

• 
  Дизъюнктивное
• 
  Конъюнктивное

• Дизъюнктивное ребро в СФЦ представляет собой линию со стрелкой на конце, связывающая между собой пару вершин. Стрелка на конце дизъюнктивного ребра представляет:

1. направленность функционального подчинения между связанными этим ребром вершинами СФЦ;
2. логический оператор «ИЛИ» между множеством заходящих в одну вершину дизъюнктивных ребер.

• Конъюнктивное ребро в СФЦ представляет собой линию с точкой на конце, связывающая между собой пару вершин. Точка на конце конъюнктивного ребра представляет:

1. направленность функционального подчинения между связанными этим ребром вершинами СФЦ;
2. логический оператор «И» между множеством заходящих в одну вершину конъюнктивных ребер.

Типовые фрагменты СФЦ

1. Головная вершина . На рисунке 1 показана функциональная вершина СФЦ, в которую не заходит ни одного ребра. Такие вершины называют головными. Элементы систем, представляемые в СФЦ головными вершинами, считаются достоверно обеспеченными. Это значит, что реализация выходного функционального события ${\displaystyle y_{i}}$ головной вершины ${\displaystyle i}$ , полностью определяется свершением только собственного события ${\displaystyle x_{i}}$ , например безотказностью (собственной работоспособностью) элемента системы в течение всего заданного времени функционирования. Аналитически такое условие определяется следующим логическим уравнением ${\displaystyle y_{i}=x_{i}}$ . Это уравнение представляет ситуацию, когда выполнение элементом ${\displaystyle i}$ его функции ${\displaystyle y_{i}}$ в системе реализуется при одном единственном условии — безотказности ${\displaystyle x_{i}}$ этого элемента.

   

2. Последовательное соединение (конъюнктивное или дизъюнктивное ребро) . На рисунке 2 показан вариант графического изображения функционального подчинения условия реализации выходной функции ${\displaystyle y_{i}}$ элемента ${\displaystyle i}$ двум событиям — безотказной работы ${\displaystyle x_{i}}$ самого элемента ${\displaystyle i}$ и реализации выходной функции ${\displaystyle y_{j}}$ элемента ${\displaystyle j}$ , который обеспечивает функционирование элемента ${\displaystyle i}$ . Логическое уравнение в этом случае примет вид: ${\displaystyle y_{i}=x_{i}\land y_{j}}$ . Это уравнение означает, что последовательным соединением вершин в СФЦ (как в блок-схемах и графах связности) представляется логическое произведение (конъюнкция, операция «И» ) элементарного события ${\displaystyle x_{i}}$ и функционального события ${\displaystyle y_{i}}$ . В вероятностном смысле последовательное соединение вершин СФЦ представляет сложное случайное событие пересечения, то есть одновременного свершения (в данный момент или на данном интервале времени) всех входящих в данное соединение простых и функциональных событий. Так, например, если обозначить ${\displaystyle x_{j}}$ — событие, состоящее в безотказной работе источника питания ${\displaystyle j}$ и всех средств её передачи к вентилятору ${\displaystyle i}$ , а ${\displaystyle x_{i}}$ — событие, безотказной работы самого вентилятора, то уравнение ${\displaystyle y_{i}=x_{i}\land y_{j}}$ определяет условие ${\displaystyle y_{i}}$ реализации системой выходной функции работы вентиляции объекта в целом.
3. Параллельное соединение (дизъюнктивные ребра) . На рисунке 3 показан вариант представления организационных отношений между функциями ${\displaystyle y_{j}}$ и ${\displaystyle y_{k}}$ , связанных дизъюнктивной логикой обеспечения реализации выходной функции ${\displaystyle y_{i}}$ элемента ${\displaystyle i}$ системы ${\displaystyle y_{i}=x_{i}\land (y_{j}\lor y_{k})}$ . Дизъюнктивные организационные отношения в СФЦ являются аналогами параллельных соединений в графах связности или операторов «ИЛИ» деревьев отказов. Например, если ${\displaystyle x_{j}}$ и ${\displaystyle x_{k}}$ — события безотказной работы основного и резервного источников питания, а ${\displaystyle x_{i}}$ — событие безотказной работы питаемого ими потребителя, то уравнение ${\displaystyle y_{i}=x_{i}\land (y_{j}\lor y_{k})}$ определяет условия реализации выходной функции ${\displaystyle y_{i}}$ определяет безотказные условия работы данной трехэлементной схемы в целом.
4. Параллельное соединение (конъюнктивные ребра) . Главное назначение конъюнктивных дуг в СФЦ состоит в обеспечении возможности представления таких зависимостей, которые требуют одновременного параллельного функционирования нескольких элементов, ветвей или подсистем исследуемого объекта. Так, логические условия реализации выходной функции ${\displaystyle y_{i}}$ системы, изображенной на рисунке 4, состоит в совместной (одновременной, параллельной) реализации функций ${\displaystyle y_{j}}$ и ${\displaystyle y_{k}}$ двух разных элементов ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle k}$ , которые обеспечивают функционирование элемента ${\displaystyle i}$ , а также безотказной работы ${\displaystyle x_{i}}$ самого элемента ${\displaystyle i}$ , и запишутся следующим образом: ${\displaystyle y_{i}=x_{i}\land (y_{j}\land y_{k})}$ .
5. Фиктивная вершина . На рисунках 5, 6, 7 приведены несколько типовых вариантов применения вершин в СФЦ. Фиктивная вершина ${\displaystyle i}$ рассматривается как логическая константа 1 (истина), то есть как некоторое условное, достоверное событие. Поэтому они имеют следующее аналитическое определение: ${\displaystyle x_{i}=1,p_{i}=1;\ {\overline {x_{i}}}=0,q_{i}=0}$ . Логические уравнения выходных функций для фиктивных вершин отличаются от аналогичных для функциональных вершин только отсутствием в записи обозначений собственных логических переменных ${\displaystyle x_{i}}$ фиктивных вершин ${\displaystyle i}$ .

• 
  Рис.1 Головная вершина
• 
  Рис.2 Конъюнкция
• 
  Рис.3 Дизъюнкция
• 
  Рис.4 Конъюнкция
• 
  Рис.5 Фиктивная вершина
• 
  Рис.6 Фиктивная вершина
• 
  Рис.7 Фиктивная вершина

Методология

Разработка СФЦ при проведении структурного анализа системы означает, прежде всего, графическое представление логических условий реализации собственных функций элементами и подсистемами. Таким образом, СФЦ аналитически эквивалентна системе логических уравнений, составленной по прямым ${\displaystyle y_{i}}$ и инверсным ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$ выходам всех функциональных, фиктивных и размноженных вершин.

Второй важной стороной построения и дальнейшего использования СФЦ является указание конкретной цели моделирования — логических условий реализации исследуемого системного свойства, например, безотказности или отказа системы, безопасности или возникновения аварии и т. п.

Далее, происходит решение системы логических уравнений по заданному логическому критерию функционирования, то есть нахождение логической функции работоспособности системы (ФРС).
Система логических уравнений мостиковой системы:
${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=x_{1}\\y_{2}=x_{2}\\y_{3}=x_{3}\land (y_{1}\lor y_{5})\\y_{4}=x_{4}\land (y_{2}\lor y_{5})\\y_{5}=x_{5}\land (y_{1}\lor y_{2})\end{cases}}}$
Логический критерий успешного функционирования: ${\displaystyle Y_{s}=y_{3}\lor y_{4}}$
После решения системы логических уравнений одним из известных методов, получаем логическую функцию работоспособности системы: ${\displaystyle Y_{s}=(x_{1}\land x_{3})\lor (x_{1}\land x_{5}\land x_{4})\lor (x_{2}\land x_{4})\lor (x_{2}\land x_{5}\land x_{3})}$
Все конъюнкции в выражении для ${\displaystyle Y_{s}}$ представляют собой кратчайшие пути успешного функционирования (КПУФ), поскольку из любой конъюнкции нельзя удалить ни одной переменной не нарушив условия реализации критерия ${\displaystyle Y_{s}}$ . Зададим условие неработоспособности (отказа) мостиковой системы: ${\displaystyle Y_{f}={\overline {Y}}_{s}={\overline {y}}_{3}\land {\overline {y}}_{4}}$ . Теперь искомая ФРС должна точно и однозначно представлять условия, когда реализуется неработоспособность (отказ) мостиковой системы. После решения системы логических уравнений одним из известных методов, получаем логическую функцию работоспособности системы: ${\displaystyle Y_{f}={\overline {Y}}_{s}=({\overline {x}}_{1}\land {\overline {x}}_{2})\lor ({\overline {x}}_{2}\land {\overline {x}}_{4})\lor ({\overline {x}}_{2}\land {\overline {x}}_{5}\land {\overline {x}}_{3})\lor ({\overline {x}}_{1}\land {\overline {x}}_{5}\land {\overline {x}}_{4})}$
Все конъюнкции в выражении для ${\displaystyle Y_{f}}$ представляют собой минимальные сечения отказов (МСО), поскольку удаление из любой конъюнкции даже одной переменной нарушает условие отказа системы.

Примеры схем функциональной целостности

См. также

• АРБИТР
• Расчет надежности

Примечания

Ссылки

1. Sneve M.K., Reka V. от 20 октября 2014 на Wayback Machine // Государственное агентство по радиационной безопасности Норвегии (Statens stravelern). StralevernRapport 2008:2. — Oslo: LoboMedia AS, 2008 — Приложение В, С.29—55. — ISSN 0804-4910.
2. : методические рекомендации: утверждены приказом № 78 министерства промышленности и энергетики Российской Федерации от 12 апреля 2006 г. // Вестник технического регулирования. — 2006. — № 5(30). ISSN 1990-5572.