Дальний порядок
- 1 year ago
- 0
- 0
Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел , связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой.
Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение , А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра , в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума .
Для целых положительных чисел и мы будем писать , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a , имеет и точку наименьшего периода b .
Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:
В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечётные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечётных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечётных чисел на 2², в k -й строке сверху — произведения нечётных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.
В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как «период 3 влечёт хаос». Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах; например, топологическая энтропия системы будет положительна. [ источник не указан 1515 дней ]
В этом случае найдутся различные точки , для которых
Можно без ограничения общности считать, что .
Тогда для отрезков и выполнено
Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что
Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено
поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой является наименьшим периодом, поэтому является наименьшим периодом и для построенной точки.