Interested Article - Форма Бовиля — Богомолова

Форма Бови́ля — Богомо́лова (также Бови́ля — Богомо́лова — Фуджи́ки ) — квадратичная форма , существующая на вторых когомологиях $H^{2}(X,\mathbb {C} )$ компактного . Названа в честь Арно Бовиля и Фёдора Богомолова .

Определение

Пусть $\sigma$ — образующая в $H^{2,0}(X,\mathbb {C} )$ , выбранная так, чтобы $\int _{X}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n}=1$ (то есть симплектическая форма ). Тогда всякая 2-форма допускает разложение на ходжевы компоненты : $\alpha =\lambda \sigma +\mu {\overline {\sigma }}+\beta ;\beta \in H^{1,1}(X)$ . Определим квадратичную форму следующей формулой:

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{X}\beta ^{2}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n-1}$

Свойства формы Бовиля — Богомолова

Пусть ${\mathfrak {X}}\to B$ — универсальная локальная деформация $X$ (её база $B$ будет шаром). Тогда для $t\in B$ , достаточно близких к $0$ , $q({\sigma }_{t})=0$ , $q({\sigma }_{t},{\overline {{\sigma }_{t}}})>0$ (в последней формуле $q$ обозначает симметричную билинейную форму, построенную по выше определённой квадратичной форме).
Отображение, ставящее точке $t\in B$ точку, соответствующую форме ${\sigma }_{t}$ в проективизации вторых когомологий $\mathbb {P} (H^{2}(X,\mathbb {C} ))$ , является, более того, локальным изоморфизмом с множеством нулей формы $q$ (локальная ).
$q|_{H^{2}(X,\mathbb {R} )}$ — невырожденная форма сигнатуры $(3,b_{2}(X)-3)$ , где $b_{2}$ — второе число Бетти .
Соотношение : если $\alpha \in H^{2}(X,\mathbb {R} );{q(\alpha )}^{n}=c\int _{X}{\alpha }^{2n}$ , где $c$ — некоторая константа, не зависящая от на $X$ (а только от его топологии).