Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.

Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида . Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером .

В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач . В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.

Определение

Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):

${\displaystyle \int Y'dx=AY+F}$ ,

где ${\displaystyle Y}$ — вектор неизвестных функций, ${\displaystyle A}$ — матрица коэффициентов ${\displaystyle F}$ — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).

${\displaystyle Y={\left\{{{y_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};A=\left[{{a_{ij}}\left(t\right)}\right];F={\left\{{{f_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};i=1,2,\ldots ,n}$ .

Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):

${\displaystyle \Omega (t)=[{\omega _{ij}}(t)]}$ .

${\displaystyle Y=\Omega C+{Y_{F}}}$ , ${\displaystyle {Y_{F}}=\Omega \int {{\Omega ^{-1}}F}}$

Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы ${\displaystyle A}$ представим в виде операторного ряда:

${\displaystyle \Omega =[{\omega _{ij}}]=E+\int A\,\;+\int A\int A\,\,+\int A\,\int A\,\int A\,+\ldots }$ ,

где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица. При этом матрица ${\displaystyle A}$ должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.

Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:

${\displaystyle \int {\left({\ldots }\right)}=\int _{t_{0}}^{t}{\left({\ldots }\right)}\,dt\,;{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\int \limits _{}^{2}{\left({\ldots }\right)=\,\int {\int {\left({\ldots }\right)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\left({\int \limits _{t_{o}}^{t_{\xi }}{\left({\ldots }\right)d{t_{\xi }}}}\right)}}}\\\end{array}}\,dt}$ .

Из этих выражений следует, что

${\displaystyle \Omega \left({t_{0}}\right)=[{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)]=E}$ .

${\displaystyle {\omega _{ii}}\left({t_{0}}\right)=\,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)=0\,,\quad i\neq j.\quad C={Y_{0}}={\left\{{y_{0,i}}\right\}^{T}};\quad {y_{0,i}}={y_{i}}\left({t_{0}}\right)}$ .

Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:

${\displaystyle Y=\Omega \cdot ({Y_{0}}+{U_{P}})\,;\quad {U_{P}}=\int {{\Omega ^{-1}}F\,.}}$ .

Здесь ${\displaystyle Y_{0}}$ — вектор начальных значений, которые заданы при ${\displaystyle t=t_{0}}$ . ${\displaystyle U_{P}}$ — вектор внешних воздействий, которые действуют при ${\displaystyle t\geq t_{0}}$ . Не нарушая общности, можно считать, что ${\displaystyle t_{0}=0}$ .

Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].

Область сходимости ряда Пеано

Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения ${\displaystyle t}$ абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд

${\displaystyle M=1+\mu \left(t\right)+{\frac {n\mu {{\left(t\right)}^{2}}}{2!}}+{\frac {{n^{2}}\mu {{\left(t\right)}^{3}}}{3!}}+\ldots +{\frac {{n^{k-1}}\mu {{\left(t\right)}^{k}}}{k!}}+\ldots }$ ,

${\displaystyle \mu \left(t\right)=\mathop {\max } \limits _{i,j}\int \limits _{0}^{t}{\left|{{a_{ij}}\left(t\right)}\right|dt}}$ .

Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций ${\displaystyle a_{ij}}$ в заданном интервале изменения ${\displaystyle t}$ .

Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

${\displaystyle {y^{(n)}}+{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+{a_{n-2}}{y^{(n-2)}}+\ldots +{a_{1}}y'+{a_{0}}y=f(t)}$

можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение

${\displaystyle {y_{i}}={y^{(i-1)}};{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{i=1,2,\ldots ,n}\\\end{array}}}$ .

Продифференцировав это равенство, получим: ${\displaystyle {y'_{i}}={y^{(i)}}={y_{i+1}}}$

Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при ${\displaystyle i-1,2,\dots ,n-1}$ . Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме ${\displaystyle y^{(n)}}$ , в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{y^{(n)}}=-{a_{0}}y-{a_{1}}y'-\ldots -{a_{n-2}}{y^{(n-2)}}-{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+f(x);\\{{y'}_{n}}=-{a_{0}}{y_{1}}-{a_{1}}{y_{2}}-\ldots -{a_{n-2}}{y_{n-1}}-{a_{n-1}}{y_{n}}+f(x)\\\end{array}}}$

Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:

${\displaystyle Y'=AY+F}$ .

Матрица ${\displaystyle A}$ и вектор ${\displaystyle F}$ этой системы имеют вид:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}&{-{a_{2}}}&{-{a_{3}}}&\cdots &{-{a_{n-2}}}&{-{a_{n-1}}}\\\end{array}}\right]}$ ; ${\displaystyle F={\left\{{0,\ldots ,0,f(x)}\right\}^{T}}}$ .

В векторе ${\displaystyle Y}$ каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в ${\displaystyle \Omega }$ , начиная со второй, является производной от предыдущей:

${\displaystyle {\omega _{ij}}={\omega '_{i-1,j}}}$

Если обозначить ${\displaystyle {\omega _{1j}}={\psi _{j}}}$ , то матрицант можно представить в виде:

${\displaystyle \Omega =W=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\psi _{1}},{\psi _{2}},\ldots ,{\psi _{n}}}\\{{{\psi '}_{1}},{{\psi '}_{2}},\ldots ,{{\psi '}_{n}}}\\\cdots \\{\psi _{1}^{(n-1)},\psi _{2}^{(n-1)},\ldots ,\psi _{n}^{(n-1)}}\\\end{array}}\right]}$

Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.

Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:

${\displaystyle y''+{a_{1}}\left(t\right)\,y'+{a_{0}}\left(t\right)\,y=p\left(t\right)}$ .

Это уравнение сводится к системе нормального вида:

${\displaystyle Y={\left\{{\,y,\,\,y'}\right\}^{T}}}$ ; ${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\;0}&{\;1}\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}\\\end{array}}\right]}$ ; ${\displaystyle F={\left\{{\,0\,,\,p\left(t\right)}\right\}^{T}}}$ .

Если ${\displaystyle a_{1}=0}$ , то элементы матрицанта можно представить в виде:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\omega _{11}}=1-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+...}\\{{\omega _{12}}=x-\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}x+...}\\{{\omega _{21}}=-\int \limits _{}^{}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}-}...}\\{{\omega _{22}}=1-\int \limits _{}^{}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+...}\\\end{array}}\right.}$

Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний

${\displaystyle y''+{\omega ^{2}}\,y=0}$ , ${\displaystyle {a_{0}}=-{\omega ^{2}};\quad {a_{1}}=0}$ .

Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:

${\displaystyle {\omega _{11}}=1-{\frac {{\omega ^{2}}\,{t^{2}}}{4}}+{\frac {{\omega ^{4}}\,{t^{4}}}{24}}-\,\ldots =\cos \omega \,t\,}$ ;

${\displaystyle {\omega _{12}}=t\;.-{\frac {{\omega ^{2}}{t^{3}}}{6}}+{\frac {{\omega ^{4}}{t^{5}}}{120}}-\,\ldots ={\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega \,t}$ .

Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:

${\displaystyle \Omega =\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \,\omega t}&{{\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega t}\\{-\omega \,\sin \,\omega t}&{\cos \,\omega t}\\\end{array}}\right]\,}$ .

Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:

${\displaystyle y''+\,\lambda \,{{\bar {a}}_{0}}y=0;\quad {a_{0}}=-\lambda \,{{\bar {a}}_{0}}}$ .

В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа ${\displaystyle \lambda }$ . Например:

${\displaystyle {\omega _{12}}=x-\lambda \int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x+\ldots }}$

${\displaystyle {\omega _{21}}=-\lambda \int \limits _{}^{}{a_{0}}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}+{\lambda ^{4}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\ldots }\ldots }}$

При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].

Реализация алгоритма в численном виде

В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.

Решение прикладных задач

Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.

Примечания