Interested Article - Теорема о дедукции

Теорема о дедукции ( лемма о дедукции, теорема дедукции ) — один из фундаментальных результатов в теории доказательств , формализует способ рассуждения, при котором для установления импликации $A\Rightarrow B$ используется $A$ в качестве необходимого условия вывода. Используется для установления существования выводов и доказательств, не используя их построения. Впервые была явно сформулирована и доказана в 1930 году Эрбраном , а без доказательств использовалась Эрбраном в 1928 году. Независимо этот принцип был сформулирован Тарским в 1930 году. По сообщению Тарского, он знал и применял этот принцип еще в 1921 году .23

Формулировка для исчисления высказываний

Если $A\vdash B$ , то $\vdash A\Rightarrow B$ .
Если $A_{1},...,A_{m-1},A_{m}\vdash B$ , то $A_{1},...,A_{m-1}\vdash A_{m}\Rightarrow B$ .

Здесь $A,B,A_{1},...,A_{m-1},A_{m}$ — логические формулы (формальной теории $L$ для исчисления высказываний), $A\vdash B$ означает, что формула $B$ выводится из формулы $A$ (в теории $L$ ), а $\vdash B$ означает, что формула $B$ доказуема (является теоремой теории $L$ ). Знак $A\Rightarrow B$ означает логическую операцию импликации .

Формулировка для теорий первого порядка

Пусть $\Gamma$ — подмножество (возможно пустое) формул некоторой теории первого порядка $K$ , $A$ и $B$ — формулы теории $K$ . Тогда если существует такой вывод формулы $B$ из множества формул $\Gamma \cup \{A\}$ , в котором ни при каком применении к формулам, зависящим в этом выводе от формулы $A$ , не связывается ни одна из свободных переменных формулы $A$ , то $\Gamma \vdash A\Rightarrow B$ .