Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространённой на данной момент семантики Крипке . Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.

Топологическая семантика для модальной логики

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, топологической моделью называется пара ${\displaystyle M=(X,V)}$ , где ${\displaystyle V}$ — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно, ${\displaystyle V:Var\to 2^{X}}$ , где ${\displaystyle Var}$ — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x}$ топологической модели определяется индукцией по длине формулы:

${\displaystyle M,x\models p}$, если  ${\displaystyle x\in V(p)}$
${\displaystyle M,x\not \models \perp }$
${\displaystyle M,x\models \lnot A}$, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$
${\displaystyle M,x\models A\land B}$, если ${\displaystyle M,x\models A}$ и ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models A\lor B}$, если ${\displaystyle M,x\models A}$ или ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models A\to B}$, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$ или ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models \Box A}$, если существует окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, такая что ${\displaystyle \forall y:(y\in U\Rightarrow M,y\models A)}$

Формула называется общезначимой в топологической модели , если она истинна во всех точках модели.

Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.

Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической модели наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:

${\displaystyle \Box p\to p}$
${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$

Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.

Связь с семантикой Крипке

Пусть ${\displaystyle F=(W,R)}$ - шкала Крипке , такая что ${\displaystyle R}$ - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е. ${\displaystyle F}$ является предпорядком ). На шкале ${\displaystyle F}$ можно естественным образом определить топологическое пространство ${\displaystyle Top(F)}$ . Базой топологии этого пространства являются множества вида

${\displaystyle R(x)=\{y\;|\;xRy\}}$.

Другими словами, в ${\displaystyle Top(F)}$ открытыми считаются все такие множества ${\displaystyle U\subseteq W}$ для которых верно, что

${\displaystyle x\in U\land xRy\Rightarrow y\in U}$.

Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что

${\displaystyle F,V,x\models A\iff Top(F),V,x\models A}$