S5 — одна из пяти систем модальной логики , предложенных и в книге «Символическая логика» ( англ. Symbolic Logic , 1932). Является нормальной модальной логикой и одной из старейших систем модальной логики. Будучи простейшей модельной логикой, образуется формулами логики высказываний , тавтологиями , аппаратом вывода с и modus ponens . Синтаксис при этом дополнен модальным оператором необходимости ${\displaystyle \Box }$ и двойственным ему оператором возможности ${\displaystyle \Diamond }$ .

С точки зрения семантики Крипке S5 относится к моделям, где отношение достижимости является отношением эквивалентности : оно рефлексивно , симметрично и транзитивно .

Аксиомы S5

В приведённых ниже выражениях используются операторы ${\displaystyle \Box }$ («необходимость») и ${\displaystyle \Diamond }$ («возможность»).

Система S5 определяется следующими аксиомами:

K: ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$

T: ${\displaystyle \Box A\to A}$ ,

и либо

5: ${\displaystyle \Diamond A\to \Box \Diamond A}$ ,

либо одновременно

4: ${\displaystyle \Box A\to \Box \Box A}$

B: ${\displaystyle A\to \Box \Diamond A}$ .

Аксиома (5) требует, чтобы ${\displaystyle R}$ семантики Крипке было евклидовым , то есть ${\displaystyle (wRv\land wRu)\implies vRu}$ .

См. также

• Модальная логика
• Нормальная модальная логика
• Семантика Крипке

Примечания

Ссылки

• в Стэнфордской энциклопедии философии