Interested Article - Обратное отношение

В математике обратное отношение — это отношение, возникающее при изменении порядка элементов в отношении. То есть, если и наборы и это отношение из в то это отношение определено так, что тогда и только тогда, когда В обозначениях записи множеств ,

Обозначения аналогичны обозначениям обратной функции . Хотя многие функции не имеют обратного, однако каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция , которая отображает отношение в обратное отношение, является инволюцией . В качестве унарной операции обратное (иногда называемое транспозицией ) коммутирует с операциями исчисления отношений, связанными с порядком, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Поскольку отношение может быть представлено как логическая матрица , а она является транспонированием исходного, обратное отношение также называется транспонированным отношением . Его также называют противоположным или двойственным исходному отношению, или обратным исходному отношению, или обратным отношением. отношения

Другие обозначения для обратного отношения включают или

Характеристики

В моноиде внутренних отношений на множестве (при этом бинарная операция над отношениями является композицией отношений) обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, то есть если является произвольным отношением на затем не равно тождественному отношению на в общем. Обратное соотношение удовлетворяет аксиомам полугруппы с инволюцей: и

Кроме того, полугруппа (англ.) на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным кванталом.

В исчислении отношений преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения , а также с взятием супремума и инфинума. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.

Инверсии

Если представляет тождественное отношение, то отношение может иметь обратное следующим образом: называется

Обратимое отношение справа
Если существует отношение называемое правой обратной зависимостью удовлетворяющее
Обратимое отношение слева
Если существует отношение называемое левой обратной зависимостью удовлетворяющее
Обратимое отношение
Если оно обратимо слева и справа.
Для обратимого однородного отношения все правые и левые обратные совпадают; этот уникальный набор называется инверсия (обратная зависимость) и обозначается В этом случае, .

Обратное отношение функции

Функция обратима тогда и только тогда, когда её обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное отношение функции отношение определяется

Это не обязательно функция: одно необходимое условие состоит в том, что быть инъективным , так как иначе является многозначным . Это условие является достаточным для является , и ясно, что тогда является (суммарной) функцией тогда и только тогда, когда является сюръективным . В этом случае, то есть если биективен , можно назвать обратной функцией

Однако функция имеет обратное отношение которая не является функцией, будучи многозначной.

Композиция с отношением

Используя композицию отношений, обратное может быть составлено с исходным отношением. Например, отношение подмножества, составленное из обратного отношения, всегда является универсальным отношением:

Теперь рассмотрим отношение принадлежности множества и его обратное.

Таким образом Противоположный состав является универсальным отношением.

Композиции используются для классификации отношений по типу: для отношения Q , когда тождественное отношение в диапазоне Q содержит Q T Q , тогда Q называется одновалентным . Когда отношение тождества на области определения Q содержится в QQ T , тогда Q называется полным . Когда Q одновалентно и тотально, то это функция . Когда Q T одновалентен, то Q называется инъективным . Когда Q T полон, Q называется сюръективным .

Примечания

  1. Gunther Schmidt. / Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein. — Springer Berlin Heidelberg, 1993. — P. –10. — ISBN 978-3-642-77970-1 .
  2. Celestina Cotti Ferrero. Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups / Celestina Cotti Ferrero, Giovanni Ferrero. — Kluwer Academic Publishers, 2002. — P. 3. — ISBN 978-1-4613-0267-4 .
  3. Daniel J. Velleman. . — Cambridge University Press, 2006. — P. 173. — ISBN 978-1-139-45097-3 .
  4. Shlomo Sternberg. / Shlomo Sternberg, Lynn Loomis. — World Scientific Publishing Company, 2014. — P. 9. — ISBN 978-9814583930 .
  5. Rosen, Kenneth H. . — Second. — Boca Raton, FL, 2017. — P. 43. — ISBN 978-1-315-15648-4 .
  6. . Relations Old and New // Relational Methods for Computer Science Applications / Ewa Orłowska ; Andrzej Szalas. — Springer Science & Business Media, 2001. — P. 135–146. — ISBN 978-3-7908-1365-4 .
Источник —

Same as Обратное отношение