R-функция (функция Рвачёва ) — числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ и ${\displaystyle [0,\infty )}$ . Впервые R-функции были введены в работах В. Л. Рвачёва . В отличие от классической аналитической геометрии теория R-функций занимается синтезом задач и уравнений с известными свойствами.

Для изучения R-функций надо знать не только классическую аналитическую геометрию, но и теорию множеств.

Определение

Числовая функция ${\displaystyle z=z(x,\;y)}$ называется R-функцией, если существует такая сопровождающая булева функция ${\displaystyle \Phi \;}$ с тем же числом аргументов, что

${\displaystyle \mathrm {sign} (z)=\Phi (\mathrm {sign} (x),\;\mathrm {sign} (y)).}$

Аналогично вводится понятие R-функции при количестве аргументов ${\displaystyle n\;>\;2.}$

Каждой R-функции соответствует единственная сопровождающая булева функция. Обратное неверно: одной и той же булевой функции соответствует бесконечное число (ветвь) R-функций.

Множество R-функций замкнуто в смысле суперпозиции R-функций. Система R-функций ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ называется достаточно полной , если множество всех суперпозиций элементов ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (множество ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ -реализуемых функций) имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества R-функций. Достаточным условием полноты является полнота системы ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ соответствующих сопровождающих булевых функций.

Полные системы R-функций

Наиболее часто используемой полной системой R-функций является система ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }}$ (при ${\displaystyle -1<\alpha \leq 1}$ ):

${\displaystyle x\wedge _{\alpha }y\equiv {\frac {1}{1+\alpha }}(x+y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}-2\alpha xy}}),}$

${\displaystyle x\vee _{\alpha }y\equiv {\frac {1}{1+\alpha }}(x+y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-2\alpha xy}}),}$

${\displaystyle {\bar {x}}\equiv -x.}$

При ${\displaystyle \alpha =0\;}$ имеем систему ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}}$ :

${\displaystyle x\wedge _{0}y\equiv x+y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad x\vee _{0}y\equiv x+y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad {\bar {x}}\equiv -x.}$

При ${\displaystyle \alpha =1\;}$ имеем систему ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ :

${\displaystyle x\wedge _{1}y\equiv {\frac {1}{2}}(x+y-|x-y|),\quad x\vee _{1}y\equiv {\frac {1}{2}}(x+y+|x-y|),\quad {\bar {x}}\equiv -x.}$

В последнем случае R-функции конъюнкции и дизъюнкции совпадают с соответствующими t-нормой и t-конормой нечёткой логики :

${\displaystyle x\wedge y\equiv \min(x,y),\quad x\vee y\equiv \max(x,y).}$

Приложения

С помощью R-функций оказывается возможным построение в неявной форме уравнений границ составных областей по известным уравнениям простых областей. Описание границы сложной области в виде единого аналитического выражения позволяет создавать структуры решения краевых задач математической физики , зависящие от неопределённых компонент и точно удовлетворяющие граничным условиям . Неопределённые компоненты таких структур могут далее находиться одним из вариационных или проекционных методов решения краевых задач (коллокации, Рэлея—Ритца , Бубнова—Галёркина—Петрова , наименьших квадратов ). Метод решения краевых задач для уравнений в частных производных на основе теории R-функций носит название структурного метода R-функций или, в зарубежной литературе, RFM (R-Functions Method).

R-функции можно рассматривать как инструмент бесконечнозначной логики или нечёткой логики .

R-функции используются (в основном воспитанниками научной харьковской школы) при решении широкого класса задач математической физики ( теории упругости , электродинамики , теории теплопроводности ), а также в многомерной цифровой обработке сигналов и изображений , машинной графике и других областях.

Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач  математической физики

В работе профессора В.Ф. Кравченко и его ученика А.В. Юрина предложен и обоснован новый метод, основанный на теории R-функций и WA-систем функций (вейвлетов, построенных на основе атомарных функций), с применением вариационного принципа Галеркина-Петрова.

При рассмотрении широкого класса краевых задач различной физической природы возникает необходимость в решении дифференциальных уравнений в частных производных, в которых исследуемая область имеет сложную конфигурацию. В таких случаях, как правило, используются численные методы: сеточные (метод конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов), вариационные и проекционные (метод Ритца, Бубнова-Галеркина-Петрова, коллокаций, Трефтца, метод наименьших квадратов, метод фиктивных областей , R-функций). Однако, каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Так, сеточные методы обладают большой эффективностью алгоритма (за счет чего и получили широкое распространение), но при этом не точно учитывают геометрию исследуемого объекта. В случае вариационных методов не всегда можно построить базисные функции, которые удовлетворяли бы  всем требуемым условиям. Поэтому их использование ограничено. Следует особо выделить метод R-функций , обладающий геометрической гибкостью и универсальностью по отношению к выбранному способу минимизации функционала. Применение такого подхода требует значительных вычислительных затрат. Это обусловлено использованием структурных формул, в основе которых лежат построенные с помощью R-операций функции области. Такие функции могут иметь сложную структуру, а для вычисления интегралов от них по области нестандартной формы необходимо использовать квадратурные формулы с высоким порядком точности. Вейвлет-базисы позволяют обойти указанные выше недостатки благодаря своим уникальным свойствам и разработать адаптивную расчетную схему без использования операции интегрирования. Такой подход возможен благодаря введению специальных коэффициентов, отражающих дифференциальные и интегральные характеристики базиса, а также коэффициентов разложения по вейвлетам функций области, краевых условий и правой части уравнения. Основным инструментом для реализации нового метода на основе R-функций и вейвлетов является схема Галеркина – Петрова решения дифференциальных уравнений в частных производных.

В работах на примере решения краевых задач эллиптического типа показана эффективность метода R-функций (функций В.Л. Рвачева) в сочетании с WA-системами функций , снимающего все недостатки, указанные ниже.

Примечания

См. также

• Алгебра логики
• Булева алгебра
• Булева функция
• (функция Слесаренко)

Ссылки