Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника , мера его способности аккумулировать электрический заряд . В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы ( конденсатора ), представленного в виде двухполюсника.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах , общепринятое обозначение ёмкости: ${\displaystyle C}$ .

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками

${\displaystyle C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}}$ ,

где ${\displaystyle Q}$ — заряд , ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал проводника, ${\displaystyle \varphi _{ref}}$ — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости ).

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

${\displaystyle C={\frac {Q}{\varphi }}}$ ,

где ${\displaystyle Q}$ — заряд , ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса ${\displaystyle R}$ равна (в системе СИ):

${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная (8,854⋅10 ⁻¹² Ф / м ), ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ — относительная диэлектрическая проницаемость .

Вывод формулы Известно, что ${\displaystyle \varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.}$ Так как ${\displaystyle C={\frac {q}{\varphi }}}$ , то подставив сюда найденный ${\displaystyle \varphi }$ , получим, что ${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R}$ .

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами ${\displaystyle \pm Q}$ , ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула ${\displaystyle C=Q/\varphi }$ останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором . Два проводника при этом именуются обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

${\displaystyle C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}}$ ,

где ${\displaystyle S}$ — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), ${\displaystyle d}$ — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

${\displaystyle W={\frac {CU^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle U}$ — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой ${\displaystyle C}$ (от лат. capacitas — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах , сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон . Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика М. Фарадея .

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10 ¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

• Ёмкость всегда положительна , за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками .
• Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
• Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ от соответствующих величин).
• В случае среды с постоянными значениями ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ зависит от напряжённости электрического поля , ёмкость будет изменяться с напряжением.
• Применительно к цепи синусоидального тока с частотой ${\displaystyle \omega }$ , элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление ${\displaystyle X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}}$ .
• Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком .

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

${\displaystyle C_{diff}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}}$ ,

которая определяется для выбранных условий ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}}$ . Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то ${\displaystyle C_{diff}=C}$ , но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей ${\displaystyle C_{diff}(\varphi )}$ при разных частотах ${\displaystyle \omega }$ изменения потенциала со временем ${\displaystyle t}$ по закону ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)}$ . Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇ ² φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников . Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля .

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	${\displaystyle {\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}}$	S : Площадь d : Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}}$	l : Длина R 1 : Радиус R ${\displaystyle _{2}}$ : Радиус
Две параллельные проволоки	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > a l : Длина
Две параллельные копланарные полосы	${\displaystyle \varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}}$	d : Расстояние w 1 , w ${\displaystyle _{2}}$ : Ширина полос k m : d/(2w m +d) k 2 : k 1 k 2 K: Эллиптический интеграл l : Длина
Два концентрических шара	${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}}$	R 1 : Радиус R 2 : Радиус
Два шара одинакового радиуса	${\displaystyle {\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}}$ ${\displaystyle ={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > 2 a D = d /2 a γ : Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены	${\displaystyle \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > a D = d/a
Шар	${\displaystyle \varepsilon a}$	a : Радиус
Круглый диск	${\displaystyle {\frac {2\varepsilon a}{\pi }}}$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}}$	a : Радиус проволоки l : Длина Λ : ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ .

См. также

• Квантовая ёмкость

Примечания

Литература

• Боргман И. И. ,. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
• Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.