В математике , функциональное исчисление — теория, позволяющая применять математические функции к математическим операторам . Сейчас это ветвь (точнее, несколько смежных областей) функционального анализа , связанная со спектральной теорией . (Исторически этот термин также использовался как синоним вариационного исчисления ; это использование устарело, за исключением функциональной производной . Иногда он используется в отношении типов функциональных уравнений , или в логике для систем исчисления предикатов.)

Если ${\displaystyle f}$ — числовая функция действительного числа , а ${\displaystyle M}$ — оператор, то нет оснований для того, чтобы выражение ${\displaystyle f(M)}$ имело смысл. Если это так, то мы больше не используем ${\displaystyle f}$ в его исходной области определения . В традициях операционного исчисления алгебраические выражения в операторах обрабатываются независимо от их значения. Однако это проходит почти незаметно, если мы говорим о «возведении матрицы в квадрат», что имеет место при ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ и ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n\times n}$ матрице . Идея функционального исчисления состоит в том, чтобы создать принципиальный подход к такого рода перегрузке нотации.

Самый непосредственный случай — применить полиномиальные функции к квадратной матрице , расширяя то, что только что обсуждалось. В конечномерном случае полиномиальное функциональное исчисление дает довольно много информации об операторе. Например, рассмотрим семейство многочленов, которое аннулирует оператор ${\displaystyle T}$ . Это семейство является идеалом в кольце многочленов. Кроме того, это нетривиальный идеал: пусть ${\displaystyle n}$ — конечная размерность алгебры матриц, тогда ${\displaystyle \{I,T,T^{2},...,T^{n}\}}$ линейно зависима. Итак, ${\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0}$ для некоторых скаляров ${\displaystyle \alpha _{i}}$ , не равных 0. Отсюда следует, что многочлен ${\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}=0}$ лежит в идеале . Поскольку кольцо многочленов является областью главных идеалов , этот идеал порождается некоторым многочленом ${\displaystyle m}$ . Если необходимо, умножая на единицу, мы можем выбрать ${\displaystyle m}$ как монический многочлен. Когда это будет сделано, многочлен ${\displaystyle m}$ будет в точности минимальным многочленом для ${\displaystyle T}$ . Этот многочлен дает глубокую информацию о ${\displaystyle T}$ . Например, скаляр ${\displaystyle \alpha }$ является собственным значением ${\displaystyle T}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ является корнем ${\displaystyle m}$ . Кроме того, иногда ${\displaystyle m}$ можно использовать для эффективного вычисления экспоненты от ${\displaystyle T}$ .

Исчисление полиномов не так информативно в бесконечномерном случае. Рассмотрим односторонний сдвиг с исчислением полиномов; идеал, определенный выше, теперь тривиален. Таким образом, нас интересуют более общие функциональные исчисления, чем полиномы. Предмет тесно связан с спектральной теорией , поскольку для диагональной матрицы или оператора умножения довольно ясно, какими должны быть определения.

Борелевское функциональное исчисление

В функциональном анализе , ветвь математики , функциональное исчисление Бореля является функциональным исчислением (то есть присвоением операторов из коммутативных алгебр функциям, определенным на их спектрах ), что имеет особенно широкую область применения. Таким образом, например, если ${\displaystyle T}$ — оператор, применение функции возведения в квадрат ${\displaystyle s\rightarrow s^{2}}$ к ${\displaystyle T}$ дает оператор ${\displaystyle T^{2}}$ . Используя функциональное исчисление для более крупных классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» из (отрицательного) оператора Лапласа − ${\displaystyle \Delta }$ или экспонента ${\displaystyle e^{it\Delta }}$ .

«Область действия» здесь означает вид разрешенной функции оператора. Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление, и имеет иную направленность, чем голоморфное функциональное исчисление.

Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет нам применять произвольные функции Бореля для самосопряженного оператора таким образом, который обобщает применение полиномиальной функции.

Мотивация

Если ${\displaystyle T}$ — самосопряженный оператор на конечномерном пространстве ${\displaystyle H}$ , то ${\displaystyle H}$ имеет ортонормированный базис ${\displaystyle \{e_{1},...,e_{l}\}}$ , состоящий из собственных векторов ${\displaystyle T}$ , то есть

   ${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq l}$ 

Таким образом, для любого положительного целого числа ${\displaystyle n}$

   ${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}}$ 

Если рассматривать только многочлены от ${\displaystyle T}$ , то мы приходим к голоморфному функционалу исчисление. Возможны ли более общие функции ${\displaystyle T}$ ? Да. Имея борелевскую функцию ${\displaystyle h}$ , можно определить оператор ${\displaystyle h(T)}$ , задав его поведение на основе:

   ${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$ 

В общем, любой самосопряженный оператор ${\displaystyle T}$ унитарно эквивалентен оператору умножения; это означает, что для многих целей ${\displaystyle T}$ можно рассматривать как оператор

   ${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$

действующий на ${\displaystyle L^{2}}$ пространство с некоторой мерой. Область определения ${\displaystyle T}$ состоит из тех функций, для которых приведенное выше выражение принадлежит ${\displaystyle L^{2}}$ . В этом случае можно аналогично определить

   ${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x)}$ 

Для многих технических целей предыдущая формулировка достаточно хороша. Однако желательно сформулировать функциональное исчисление таким образом, чтобы было ясно, что оно не зависит от конкретного представления T как оператора умножения.

Голоморфное функциональное исчисление

В математике , голоморфное функциональное исчисление равно функциональному исчислению с голоморфными функциями . Другими словами, для голоморфной функции ${\displaystyle f}$ с комплексным аргументом ${\displaystyle z}$ и с оператором ${\displaystyle T}$ цель состоит в том, чтобы построить оператор ${\displaystyle f(T)}$ , который естественным образом расширяет функцию ${\displaystyle f}$ от комплексного аргумента к аргументу оператора. Точнее, функциональное исчисление определяет непрерывный гомоморфизм алгебр от голоморфных функций в окрестности спектра оператора ${\displaystyle T}$ к ограниченным операторам.

Рассмотрим случай, когда ${\displaystyle T}$ является ограниченным линейным оператором в некотором банаховом пространстве . В частности, ${\displaystyle T}$ может быть квадратной матрицей с комплексными элементами.

Мотивация

Потребность в общем функциональном исчислении

В этом разделе ${\displaystyle T}$ будет предполагаться как ${\displaystyle n\times n}$ матрица с комплексными элементами.

Если данная функция ${\displaystyle f}$ относится к определенному специальному типу, существуют естественные способы определения ${\displaystyle f(T)}$ . Например, если

   ${\displaystyle p(x)=\sum \limits _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

является сложным многочленом , можно просто заменить ${\displaystyle T}$ на ${\displaystyle z}$ и определить

   ${\displaystyle p(T)=\sum \limits _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

где ${\displaystyle T^{0}=I}$ , единичной матрице. Это полиномиальное функциональное исчисление. Это гомоморфизм кольца многочленов в кольцо матриц размера ${\displaystyle n\times n}$ .

Немного расширяясь от многочленов, если ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ голоморфна всюду, то есть целая функция, с рядом Маклорена

   ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}}$,

, имитируя полиномиальный случай, предлагаем определить

   ${\displaystyle f(T)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}}$,

Так как ряд Маклорена сходится везде, указанный ряд будет сходиться в выбранной операторной норме. Примером этого является экспонента матрицы. Замена ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle T}$ в ряду Маклорена ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ дает

    ${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+...}$

Требование, чтобы ряд Маклорена ${\displaystyle f}$ везде сходился, можно несколько ослабить. Из вышесказанного очевидно, что все, что действительно нужно, — это радиус сходимости ряда Маклорена, превышающий ${\displaystyle ||T||}$ , операторную норму ${\displaystyle T}$ . Это несколько расширяет семейство ${\displaystyle f}$ , для которого ${\displaystyle f(T)}$ может быть определено с помощью приведенного выше подхода. Однако это не совсем удовлетворительно. Например, из теории матриц находится факт, что каждое невырожденное ${\displaystyle T}$ имеет логарифм ${\displaystyle S}$ в том смысле, что ${\displaystyle e^{S}=T}$ . Желательно иметь функциональное исчисление, позволяющее определить для невырожденного ${\displaystyle T}$ , ${\displaystyle ln(T)}$ такой, что он совпадает с ${\displaystyle S}$ . Этого нельзя сделать с помощью степенного ряда, например логарифмического ряда

   ${\displaystyle ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}}$, 

сходится только на открытой единичной окружности. Подстановка ${\displaystyle T}$ вместо ${\displaystyle z}$ в ряд не дает четко определенного выражения для ${\displaystyle ln(T+I)}$ для обратимого ${\displaystyle T+I}$ с ${\displaystyle ||T||\geq 1}$ . Таким образом, требуется более общее функциональное исчисление.

Функциональное исчисление и спектр

Ожидается, что необходимое условие для того, чтобы ${\displaystyle f(T)}$ имело смысл, — это определение ${\displaystyle f}$ на спектре ${\displaystyle T}$ . Например, спектральная теорема для нормальных матриц утверждает, что каждая нормальная матрица унитарно диагонализуема. Это приводит к определению ${\displaystyle f(T)}$ , когда ${\displaystyle T}$ нормален. Возникают трудности, если ${\displaystyle f(\lambda )}$ не определена для некоторого собственного значения ${\displaystyle \lambda }$ оператора ${\displaystyle T}$ .

Другие указания также подтверждают идею о том, что ${\displaystyle f(T)}$ может быть определена, только если ${\displaystyle f}$ определена на спектре ${\displaystyle T}$ . Если ${\displaystyle T}$ необратима, тогда (вспоминая, что ${\displaystyle T}$ — матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ ) 0 — собственное значение. Поскольку натуральный логарифм не определен в 0, можно ожидать, что ${\displaystyle ln(T)}$ не может быть определено естественным образом. Это действительно так. В качестве другого примера для

   ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

разумным способом вычисления ${\displaystyle f(T)}$ может быть

   ${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}}$. 

Однако это выражение не определено, если обратной матрицы в правой части не существуют, то есть если 2 или 5 являются собственными значениями ${\displaystyle T}$ .

Для данной матрицы ${\displaystyle T}$ собственные значения ${\displaystyle T}$ определяют, в какой степени ${\displaystyle f(T)}$ можно определить; то есть ${\displaystyle f(\lambda )}$ должен быть определен для всех собственных значений ${\displaystyle \lambda }$ оператора ${\displaystyle T}$ . Для общего ограниченного оператора это условие переводится как « ${\displaystyle f}$ должно быть определено на спектре оператора ${\displaystyle T}$ ». Это предположение оказывается разрешающим условием, так что отображение функционального исчисления, ${\displaystyle f\rightarrow f(T)}$ , имеет определенные желаемые свойства.

Непрерывное функциональное исчисление

В математике , особенно в теории операторов и теории C *-алгебры , непрерывное функциональное исчисление — это функциональное исчисление, которое позволяет применять непрерывные функции к нормальным элементам C*-алгебры.

Теорема

Теорема . Пусть ${\displaystyle x}$ будет нормальным элементом C*-алгебры ${\displaystyle A}$ с единичным элементом ${\displaystyle e}$ . Тогда существует единственное отображение ${\displaystyle \pi :f\rightarrow f(x)}$ , определенное для непрерывной функции ${\displaystyle f}$ на спектре ${\displaystyle \sigma (x)}$ элемента ${\displaystyle x}$ , такое, что ${\displaystyle \pi }$ является сохраняющим единицу морфизмом C*-алгебр и ${\displaystyle \pi (1)=e}$ и ${\displaystyle \pi (id)=x}$ , где ${\displaystyle id}$ обозначает функцию ${\displaystyle z\rightarrow z}$ на ${\displaystyle \sigma (x)}$ .

Доказательство этого факта почти сразу следует из представления Гельфанда: достаточно предположить, что ${\displaystyle A}$ является C*-алгеброй непрерывных функций на некотором компакте ${\displaystyle X}$ , и определить ${\displaystyle \pi (f)=f\circ x}$ Единственность следует из применения теоремы Стоуна-Вейерштрасса .

В частности, это означает, что ограниченные нормальные операторы в гильбертовом пространстве имеют непрерывное функциональное исчисление.

Литература

• «Functional calculus», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentals of the Theory of Operator Algebras: Vol 1. Amer Mathematical Society. ISBN 0-8218-0819-2 .
• Theorem VII.1 p. 222 in Modern methods of mathematical physics, Vol. 1, Reed M., Simon B.
• N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.