ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях ) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики , квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: бозонов и фермионов , соответственно. .

ККС-алгебры и КАС-алгебры как *-алгебры

Пусть ${\displaystyle V}$ - вещественное векторное пространство , снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (т.е. симплектическое векторное пространство ). унитальная *-алгебра , порожденная элементами ${\displaystyle V}$ , в которой выполняются соотношения

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)}$

${\displaystyle f^{*}=f}$

для любых ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй) .

Если, наоборот, ${\displaystyle V}$ снабжено невырожденной вещественной ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ унитальная *-алгебра, порожденная элементами ${\displaystyle V}$ , в которой выполняются соотношения

${\displaystyle fg+gf=(f,g)}$

${\displaystyle f^{*}=f}$

для всех ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle V}$ называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй) .

ККС C*-алгебра

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть ${\displaystyle H}$ - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ . В теории операторных алгебр алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ является унитальной C*-алгеброй , порожденной элементами ${\displaystyle \{W(f):f\in H\}}$ обладающими свойствами

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f)}$

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент ${\displaystyle W(f)}$ является унитарным и ${\displaystyle W(0)=1}$ . Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.

Когда ${\displaystyle H}$ является гильбертовым пространством , а ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх ${\displaystyle H}$ , при помощи соотношения:

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)}$

для любых ${\displaystyle f,g\in H}$ . Операторы поля ${\displaystyle B(f)}$ определяются для каждого ${\displaystyle f\in H}$ как генераторы однопараметрической унитарной группы ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$ на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными , однако они формально удовлетворяют соотношению

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle }$

Поскольку отношение ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ является вещественнолинейным, поэтому операторы ${\displaystyle B(f)}$ определяют ККС-алгебру над ${\displaystyle (H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ в смысле .

КАС C*-алгебра

Пусть ${\displaystyle H}$ - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):f\in H\}}$ с учетом отношений

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

для всех ${\displaystyle f,g\in H}$ , ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ . Когда ${\displaystyle H}$ отделима, КАС-алгебра представляет собой и, в частном случае бесконечномерного ${\displaystyle H}$ , ее часто записывают как ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$ .

Пусть ${\displaystyle F_{a}(H)}$ будет антисимметричным пространством Фока над ${\displaystyle H}$ и пусть ${\displaystyle P_{a}}$ будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

КАС-алгебра точно представляется в ${\displaystyle F_{a}(H)}$ , при помощи соотношения

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

для всех ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами . Более того, операторы поля ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$ удовлетворяют соотношению

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

дающему связь с .

См. также

• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Ферми — Дирака
• Группа Гейзенберга
• Преобразование Боголюбова

Примечания