Interested Article - 3-3 дуопризма

3-3 дуопризма Диаграмма Шлегеля
Type	Однородная дуопризма
Символ Шлефли	{3}×{3} = {3} ²
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Ячеек	6 треугольных призм
Граней	9 квадратов , 6 треугольников
Рёбер	18
Вершин	9
Вершинная фигура	Равногранный тетраэдр
	[[3,2,3]] = [6,2 ⁺ ,6], order 72
Двойственный
Свойства	выпуклый , вершинно однородный , гранетранзитивный

3-3 дуопризма или треугольная дуопризма , наименьшая из p-q дуопризм , это четырёхмерный многогранник , получающийся прямым произведением двух треугольников.

Многогранник имеет 9 вершин, 18 рёбер, 15 граней (9 квадратов и 6 треугольников ) в 6 ячейках в форме треугольных призм . Он имеет диаграмму Коксетера и симметрию [[3,2,3]] порядка 72. Его вершины и рёбра образуют $3\times 3$ ладейный граф .

Гиперобъём

Гиперобъём 3-3 дуопризмы с рёбрами длины a равен $V_{4}={3 \over 16}a^{4}$ . Он вычисляется как квадрат площади правильного треугольника , $A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$ .

Изображения

Ортогональные проекции

Развёртка	Вершинная перспектива	3D перспективная проекция с 2 различными вращениями

Симметрия

В 5-мерных пространствах некоторые имеют 3-3 дуопризму в качестве вершинных фигур , некоторые с неравными длинами рёбер, а потому с меньшей симметрией:

Симметрия	[[3,2,3]], order 72	[3,2], order 12
Диаграмма Коксетера
Диаграмма Шлегеля
Название

также имеют 3-3 дуопризму в качестве вершинных фигур . Имеется три построения для сот с двумя меньшими симметриями.

Симметрия	[3,2,3], порядок 36	[3,2], порядок 12	[3], порядок 6
Диаграмма Коксетера
Косая ортогональная проекция

Связанные комплексные многоугольники

Правильный комплексный многогранник ₃ {4} ₂ , в $\mathbb {C} ^{2}$ имеет вещественное представление как 3-3 дуопризма в 4-мерном пространстве. ₃ {4} ₂ имеет 9 вершин и 6 3-рёбер. Его группа симметрии ₃ [4] ₂ имеет порядок 18. Многогранник имеет также построение с меньшей симметрией или ₃ {}× ₃ {} с симметрией ₃ [2] ₃ порядка 9. Эта симметрия возникает, если красные и синие 3-рёбра считать различными .

Перспективная проекция	Ортогональная проекция с совпадающими центральными вершинами	Ортогональная проекция со смещением, чтобы избежать наложение элементов.

Связанные многогранники

k ₂₂ фигуры в n-мерных пространствах
Пространство	Конечное			Евклидово	Гиперболическое
n	4
Группа Коксетера	2A ₂	A ₅	E ₆	${\tilde {E}}_{6}$ =E ₆ ⁺	${\bar {T}}_{7}$ =E ₆ ⁺⁺
Диаграмма Коксетера
	[[3 ^2,2,-1 ]]	[[3 ^2,2,0 ]]	[[3 ^2,2,1 ]]	[[3 ^2,2,2 ]]	[[3 ^2,2,3 ]]
Порядок	72	1440	103,680	∞
Граф				∞	∞
Название	-1 ₂₂

3-3 дуопирамида

3-3 дуопирамида
Type	Однородная двойственная
Символ Шлефли	{3}+{3} = 2{3}
Диаграмма Коксетера
Ячейки	9 равногранных тетраэдров
Грпани	18 равнобедренных треугольников
Рёбер	15 (9+6)
Вершин	6 (3+3)
	[[3,2,3]] = [6,2 ⁺ ,6], order 72
Двойственный	3-3 дуопризма
Свойствия	выпуклый , вершинно однородный , гранетранзитивный

Двойственный многогранник для 3-3 дуопризмы называется 3-3 или треугольной дуопирамидой . Он имеет 9 ячеек в виде равногранных тетраэдров , 18 треугольных граней, 15 рёбер и 6 вершин.

Многогранник можно рассматривать в ортогональной проекции как 6-угольник, в котором рёбра соединяют все пары вершин, точно как в 5-симплексе .

ортогональная проекция

Связанный комплексный многоугольник

Комплексный многоугольник ₂ {4} ₃ имеет 6 вершин в $\mathbb {C} ^{2}$ с вещественным представлением в $\mathbb {R} ^{4}$ с тем же как у 3-3 дуопирамиды. Многогранник имеет 9 2-рёбер, соответствующих рёбрам 3-3 дуопирамиды, но 6 рёбер, соединяющих два треугольника, не включены. Его можно рассматривать в шестиугольной проекции с 3 наборами раскрашенных рёбер. Это расположение вершин и рёбер даёт полный двудольный граф , в котором каждая вершина одного треугольника связана с каждой вершиной другого. Граф называется также графом Томсена или 4- клеткой .

₂ {4} ₃ с 6 вершинами (синими и красными) связанные 9 2-рёбрами в виде полного двудольного графа .	Граф имеет 3 набора из 3 рёбер, показанных цветом.

См. также

3,4-дуопризма
Тессеракт (4-4 дуопризма)
5,5-дуопризма
Выпуклые правильные 4-мерные многогранники

Примечания

.
, с. 110, 114.

Литература

Coxeter H.S.M. . — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8 .
Coxeter H.S.M. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // . — Dover Publications, 1999. — С. -213. — ISBN 0-486-40919-8 .
- Coxeter H.S.M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions // Proc. London Math. Soc.. — 1937. — Вып. 43 . — С. 33–62 .
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26 // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
N.W. Johnson . Uniform Polytopes. — 1991. — (Manuscript).
- N.W. Johnson . The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
George Olshevsky
George Olshevsky
// Discrete & Computational Geometry. — 2016. — Июнь ( т. 55 , вып. 4 ). — С. 801–826 .
- H.S.M. Coxeter . Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1 .

Ссылки

—describes duoprisms as "double prisms" and duocylinders as "double cylinders"
– glossary of higher-dimensional terms

[_831ba154467501e7-1] .

[_3d1c5b9037a35d97-2] , с. 110, 114.