Альфа-форма или ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ -форма — это семейство кусочно-линейных простых кривых на евклидовой плоскости , ассоциированных с формой конечного множества точек. Альфа-формы первым определили Эдельсбруннер, Киркпатрик и Зайдель . Альфа-форма, ассоциированная с множеством точек, является обобщением концепции выпуклой оболочки , то есть любая выпуклая оболочка является альфа-формой, но не любая альфа-форма является выпуклой оболочкой.

Описание

Для любого вещественного числа ${\displaystyle \alpha }$ определим концепцию обобщённого диска радиуса ${\displaystyle 1/\alpha }$ следующим образом:

• Если ${\displaystyle \alpha =0}$ , это замкнутая полуплоскость ;
• Если ${\displaystyle \alpha >0}$ , это замкнутый диск радиуса ${\displaystyle 1/\alpha }$ ;
• Если ${\displaystyle \alpha <0}$ , это замыкание дополнения диска радиуса ${\displaystyle -1/\alpha }$ .

Тогда ребро альфа-формы рисуется между двумя точками конечного множества, когда существует обобщённый диск радиуса ${\displaystyle 1/\alpha }$ , содержащий всё множество точек и обладающий свойством, что две точки лежат на его границе.

Если ${\displaystyle \alpha =0}$ , то альфа-форма, ассоциированная с конечным множеством точек, является обычной выпуклой оболочкой.

Альфа-комплекс

Альфа-формы тесно связаны с альфа-комплексами, подкомплексами триангуляции Делоне множества точек.

Каждое ребро треугольника триангуляции Делоне может быть ассоциировано с характеристическим радиусом, ребром наименьшей пустой окружности, содержащей ребро треугольника. Для каждого вещественного числа ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ -комплекс заданного множества точек является симплициальным комплексом , образованным набором рёбер и треугольников, чьи радиусы не превосходят ${\displaystyle 1/\alpha .}$

Объединение рёбер и треугольников в ${\displaystyle \alpha }$ -комплексе формирует форму, близко походящую на ${\displaystyle \alpha }$ -форму, однако она отличается тем, что имеет кусочно-линейные рёбра, а не дуги окружностей. Более того, Эдельсбруннер показал, что две формы гомотопически эквивалентны . (В этой, более поздней работе, Эдельсбруннер использовал название ${\displaystyle \alpha }$ -форма для обозначения ячеек ${\displaystyle \alpha }$ -комплекса, а для криволинейной формы использовал название ${\displaystyle \alpha }$ -тело.)

Примеры

Эту технику можно применять для реконструкции поверхности Ферми из электронной спектральной функции Блоха, вычисленной на уровне Ферми , как полученной из функции Грина . Поверхность Ферми тогда определяется как множество противоположных точек пространства внутри первой зоны Бриллюэна , где сигнал наибольший. Такое определение имеет преимущество, что оно перекрывает различные случаи нарушений.

См. также

• Бета-остов

Примечания

Литература

Ссылки

• и библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии ( англ. Computational Geometry Algorithms Library )
• в библиотеке GUDHI.
• в университете Дьюка
• — с иллюстрациями и интерактивной демонстрацией
• — Лекции, дающие описание формальных и интуитивных аспектов имплементации альфа-форм
• — Слайды лекций Робрерта Плесса из Вашингтонского университета