Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр , часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы ( ${\displaystyle \beta =1}$ ) представляет собой косинусоиду, приподнятую таким образом, чтобы она «сидела» на горизонтальной оси ${\displaystyle f}$ .

Математическое описание

ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста , то есть обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр обладает нечётной симметрией относительно ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$ , где ${\displaystyle T}$ длительность символа в системе связи.

Для его описания в частотной области используется кусочная функция , заданная формулой:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1.0,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

и характеризуется двумя величинами; ${\displaystyle \beta }$ — коэффициент сглаживания, и ${\displaystyle T}$ — величина обратная символьной скорости.

Импульсный отклик фильтра описывается формулой:

${\displaystyle h(t)=\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-{\frac {4\beta ^{2}t^{2}}{T^{2}}}}}}$ , в выражении через нормализованные sinc функции.

Коэффициент сглаживания

Коэффициент сглаживания ${\displaystyle \beta }$ — мера избыточности полосы пропускания фильтра, то есть полоса частот вне полосы Найквиста ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$ . Если обозначить избыточность полосы через ${\displaystyle \Delta f}$ , то:

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\Delta f}$

где ${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$ — символьная скорость.

На графике показана АЧХ при изменении ${\displaystyle \beta }$ от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения ${\displaystyle \beta }$ . Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлинения импульсного отклика.

${\displaystyle \beta =0}$

Как только ${\displaystyle \beta }$ достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)}$

где ${\displaystyle \mathrm {rect} (.)}$ — прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к ${\displaystyle \mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$ .

Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.

${\displaystyle \beta =1}$

Когда ${\displaystyle \beta =1}$ , ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Полоса пропускания

Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, то есть:

${\displaystyle BW=R_{S}(1+\beta )}$

Применения

Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, так как его импульсный отклик равен 0 во всех ${\displaystyle nT}$ (где ${\displaystyle n}$ — целое), кроме ${\displaystyle n=0}$ .

Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приёмнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.

Однако, в большинстве практических систем связи, в приёмнике должен быть использован согласованный фильтр , это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:

${\displaystyle H_{R}(f)=H_{T}^{*}(f)}$

то есть:

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.

Литература

• Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4 .
• Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 .

Ссылки