Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования (движения) плоскости.

Названа в честь Мишеля Шаля . Также теоремой Шаля называют некоторые .

Формулировки

Плоскость

Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию , а также тождественное отображение ), либо параллельный перенос .

Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией .

Пространство

Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является .

Всякое меняющее ориентацию движение пространства является композицией зеркальной симметрии и скользящего поворота.

Доказательство

Основные идеи доказательства:

• Любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами.
• Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий .
• Перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трёх осевых симметрий.

Лемма о трёх гвоздях

Любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. Другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек ${\displaystyle A,B,C}$ и их образов ${\displaystyle A',B',C'}$ существует единственное движение ${\displaystyle f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'}$

Доказательство

Возьмем любую точку ${\displaystyle D\neq A,B,C}$ и ее образ ${\displaystyle D'}$ . ${\displaystyle f}$ — движение, а значит ${\displaystyle AD=A'D'}$ ; из чего следует, что ${\displaystyle D'}$ лежит на окружности с центром в ${\displaystyle A'}$ и радиусом ${\displaystyle AD}$ .

Аналогичное рассуждение для точек ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ показывает, что ${\displaystyle D'}$ также лежит на окружности с центром в ${\displaystyle B'}$ и радиусом ${\displaystyle BD}$ и на окружности с центром в ${\displaystyle C'}$ и радиусом ${\displaystyle CD}$ .

Так как три окружности,центры которых не лежат на одной прямой, могут пересекаться только в одной точке, то существует единственный образ ${\displaystyle D'}$ для любой точки ${\displaystyle D}$ . Это утверждение равносильно единственности движения.

Лемма о трёх симметриях

Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий . Другими словами, любое движение ${\displaystyle f}$ представимо или как ${\displaystyle S_{l}}$ или как ${\displaystyle S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}}$ или как ${\displaystyle S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}}$ .

Доказательство

Возьмем произвольное движение ${\displaystyle f}$ и точки ${\displaystyle A,B,C}$ с их образами ${\displaystyle A',B',C'}$ . Если мы докажем, что для ${\displaystyle A,B,C}$ существует композиция симметрий ${\displaystyle g}$ эквивалентная ${\displaystyle f}$ , то ${\displaystyle f=g}$ в общем случае.

Заметим что ${\displaystyle S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i}}}$ , так как ${\displaystyle S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}}$ и ${\displaystyle (f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}}$

Найдем представление ${\displaystyle f}$ в виде композиции осевых симметрий:

1. Рассмотрим симметрию ${\displaystyle S_{l_{1}}}$ , такую что ${\displaystyle A\mapsto A'}$ . Точка ${\displaystyle B}$ при такой симметрии перейдет или в некоторую новую точку ${\displaystyle B'_{1}}$ или обратно в ${\displaystyle B'}$ . Точка ${\displaystyle C}$ аналогично перейдет или в некоторую ${\displaystyle C'_{1}}$ или обратно в ${\displaystyle C'}$ . Если ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ вернулись в ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ , то ${\displaystyle S_{l_{1}}\circ f=Id}$ , где ${\displaystyle Id}$ — тождественное преобразование . В таком случае ${\displaystyle f=S_{l_{1}}}$ .
2. Теперь, если точка ${\displaystyle B\mapsto B'_{1}}$ , то рассмотрим симметрию ${\displaystyle S_{l_{2}}}$ , такую что ${\displaystyle B'_{1}\mapsto B'}$ . Заметим, что ${\displaystyle l_{2}}$ — серединный перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle B'B'_{1}}$ , по определению осевой симметрии.

${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle S_{l_{1}}}$ — движения, а значит ${\displaystyle AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{и}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}}$ . Следовательно, ${\displaystyle A'}$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ${\displaystyle B'B'_{1}}$ (по свойству серединного перпендикуляра), то есть на прямой ${\displaystyle l_{2}}$ . Отсюда следует, что при преобразовании ${\displaystyle S_{l_{2}}}$ — ${\displaystyle A'\mapsto A'}$ . Если ${\displaystyle C'\mapsto C}$ , то аналогично ${\displaystyle CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}}$ , то есть при ${\displaystyle S_{l_{2}}}$ ${\displaystyle C}$ перейдет в ${\displaystyle C'}$ . Иначе ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}}$ , значит ${\displaystyle C'_{1}}$ снова перейдет или в некоторую ${\displaystyle C'_{2}}$ или в ${\displaystyle C'}$ . Итого, если или ${\displaystyle C'_{1}\mapsto C'}$ при ${\displaystyle S_{l_{2}}}$ ; или ${\displaystyle C\mapsto C'}$ при ${\displaystyle S_{l_{1}}}$ , то ${\displaystyle S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id}$ . Это значит, что ${\displaystyle f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}}$ .

1. Если ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2}}$ , рассмотрим симметрию ${\displaystyle S_{l_{3}}}$ , такую что ${\displaystyle C'_{2}\mapsto C'}$ .

Очевидно, что ${\displaystyle l_{3}}$ — серединный перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle C'C'_{2}}$ . ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle S_{l_{1}}}$ , ${\displaystyle S_{l_{2}}}$ — движения, а значит ${\displaystyle AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}}$ . Следовательно, ${\displaystyle A'}$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку ${\displaystyle C'C'_{2}}$ , то есть ${\displaystyle l_{3}}$ . Это значит, что ${\displaystyle S_{l_{3}}}$ переводит ${\displaystyle A'}$ в ${\displaystyle A'}$ . Если ${\displaystyle B\mapsto B'}$ , то аналогично ${\displaystyle B'\in l_{3}}$ . Иначе, ${\displaystyle B\mapsto B'_{1}\mapsto B'}$ , следовательно ${\displaystyle BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}}$ и ${\displaystyle B'}$ тоже лежит на ${\displaystyle l_{3}}$ .Это значит, что ${\displaystyle S_{l_{3}}}$ переводит ${\displaystyle B'}$ в ${\displaystyle B'}$ . Следовательно, ${\displaystyle S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id}$ , а значит, ${\displaystyle f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}}$ .

Перебор вариантов

Теперь каждое данное движение ${\displaystyle f}$ представим в виде композиции не более трёх симметрий по .

Классифицируем получившееся равенство, тем самым классифицировав любое данное движение:

1. Если ${\displaystyle f=S_{l}}$ , то ${\displaystyle f}$ — осевая симметрия .
2. Если ${\displaystyle f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}}$ , то либо ${\displaystyle l_{1}\parallel l_{2}}$ и тогда ${\displaystyle f}$ — параллельный перенос , либо ${\displaystyle l_{1}\nparallel l_{2}}$ и тогда ${\displaystyle f}$ — поворот .
3. Иначе, ${\displaystyle f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}}$ и тогда ${\displaystyle f}$ — скользящая симметрия (по свойству скользящей симметрии).

Приложения

• Теорема Ельмслева о серединах

Источники

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М. : Просвещение , 1991. — С. 228-229. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3 .