Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа , доказанная . Оно указывает границу для L ^p -нормы функции, используя L ^p границы на слабые производные этой функции и геометрию области . Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева .

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства R ⁿ с диаметром d . Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$ (то есть ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ и u = 0). Тогда

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},}$

где

• ${\displaystyle \|-\|_{L^{p}(\Omega )}}$ обозначает L ^p -норму ;
• α = ( α ₁ , …, α _n ) — мультииндекс с нормой | α | = α ₁ + … + α _n ;
• D ^α u — смешанная частная производная

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$

Близким результатом является .

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 3 марта 2023 )