Interested Article - Теорема Лежандра

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существования решений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений , установленное Лежандром в 1785 году .

Формулировка

Уравнение

aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,

у которого не все коэффициенты одного знака и $a,b,c$ — попарно взаимно простые числа , имеет нетривиальное решение в целых числах $(X,Y,Z)$ тогда и только тогда, когда:

$-ab$ — квадратичный вычет по модулю $c$ ,
$-bc$ — квадратичный вычет по модулю $a$ ,
$-ca$ — квадратичный вычет по модулю $b$ .

О доказательстве

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм : квадратичная форма представляет нуль в $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда она представляет нуль в $\mathbb {R}$ и во всех полях $p$ -адических чисел $\mathbb {Q} _{p}$ . Для разрешимости в $\mathbb {R}$ нужны разные знаки, для разрешимости в $\mathbb {Q} _{p}$ для $p\mid abc$ — вышеприведённые симметричные соотношения.

Связь с теоремой о четырех квадратах

Эта теорема может быть использована для доказательства теоремы Лагранжа о четырех квадратах , которая утверждает, что все натуральные числа могут быть записаны как сумма четырех квадратов. Гаусс указал, что теорема о четырех квадратах легко вытекает из того факта, что любое положительное целое число, равное 1 или 2, является суммой 3 квадратов, поскольку любое положительное целое число, не делимое на 4, можно привести к этой форме путем вычитания. 0 или 1 из этого. Однако доказательство теоремы о трех квадратах значительно сложнее, чем прямое доказательство теоремы о четырех квадратах, в котором не используется теорема о трех квадратах. Действительно же, теорема о четырех квадратах была доказана ранее, в 1770 году.