Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения , зная общее решение однородного уравнения , без нахождения частного решения .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Станем искать решение уравнения

${\displaystyle a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),}$

полагая, что для соответствующего ему однородного уравнения

${\displaystyle a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)}$

известно решение, которое запишем как

${\displaystyle z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)}$

Метод состоит в замене произвольных постоянных ${\displaystyle c_{k}}$ в общем решении на вспомогательные функции ${\displaystyle c_{k}(t)}$ .

Производная для ${\displaystyle z=c_{1}(t)z_{1}+c_{2}(t)z_{2}+...+c_{n}(t)z_{n}}$ запишется

${\displaystyle z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'}$

Но мы потребуем дополнительно (ниже показано, что проблем это не вызовет), чтобы

${\displaystyle c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0}$

Таким образом, ${\displaystyle z'=c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'}$

Вводя схожие требования для ${\displaystyle c_{k}'}$ при последовательном дифференцировании ${\displaystyle z(t)}$ до (n-1) порядка, получим

${\displaystyle c_{1}'z^{(k-1)}+\ldots +c_{n}'z^{(k-1)}=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k)}}$

А для старшей производной, соответственно

${\displaystyle z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+\;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}}$

После подстановки в исходное уравнение и сокращения в нём однородного решения (1), останется

${\displaystyle a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{n}^{(n-1)}(t)\right]=f(t)}$

В результате, приходим к

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n}(t)\end{matrix}}\right.\qquad (2)}$

Определителем системы (2) служит вронскиан функций ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}}$ , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно ${\displaystyle {c_{k}'}}$ .

Если ${\displaystyle {\widetilde {c_{k}}}}$ — первообразные для ${\displaystyle c_{k}'}$ , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

${\displaystyle z=z^{*}(t)={\widetilde {c_{1}}}(t)z_{1}(t)+...+{\widetilde {c_{n}}}(t)z_{n}(t)}$

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Примеры

1) Уравнение, в частности возникающее в законе радиоактивного распада

${\displaystyle {\dot {x}}+\gamma x=f(t)}$

Общее решение элементарно интегрируется:

${\displaystyle x=c\cdot e^{-\gamma t}}$

Применим метод Лагранжа:

${\displaystyle c'e^{-\gamma t}=f(t)}$

Откуда искомое решение

${\displaystyle x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t}}$

2) Уравнение гармонического осциллятора

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)}$

Решение однородного уравнения запишем в виде

${\displaystyle x=a\sin \omega t+b\cos \omega t}$

Согласно системе (2) получаем:

${\displaystyle {\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega t-b'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{cases}}}$

${\displaystyle a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}$

${\displaystyle b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}$

Восстановим решение:

${\displaystyle x(t)=\left(\int dt\,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)\right)\sin \omega t-\left(\int dt\,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)\right)\cos \omega t}$

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

${\displaystyle {\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (3)}$

состоит в построении общего решения (3) в виде

${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),}$

где ${\displaystyle Z(t)}$ — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция ${\displaystyle {\bar {u}}}$ , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением ${\displaystyle {\bar {u'}}(t)=Z^{-1}(t){\bar {f}}(t)}$ . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при ${\displaystyle t=t_{0}}$ имеет вид

${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1}(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .}$

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .}$

Матрица ${\displaystyle Z(t)Z^{-1}(\tau )}$ называется матрицей Коши оператора ${\displaystyle L=A(t)}$ .

Ссылки

• — Теоретическая справка c примерами