Автомо́рфная фу́нкция — функция ${\displaystyle f}$ , аналитическая в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ и удовлетворяющая в этой области соотношению ${\displaystyle f(g(z))=f(z)}$ , где ${\displaystyle g}$ — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

История

Класс автоморфных функций, обобщающий класс эллиптических функций , был введён и исследован французским математиком Анри Пуанкаре в работах 1880-х годов.

На протяжении XIX века практически все видные математики Европы участвовали в развитии теории эллиптических функций, оказавшихся чрезвычайно полезными при решении дифференциальных уравнений . Всё же эти функции не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, и многие математики стали задумываться над тем, нельзя ли расширить класс эллиптических функций так, чтобы новые функции были применимы и для тех уравнений, где эллиптические функции бесполезны.

Пуанкаре впервые нашёл эту мысль в статье Лазаря Фукса , виднейшего в те годы специалиста по линейным дифференциальным уравнениям ( 1880 ). В течение нескольких лет Пуанкаре далеко развил идею Фукса, создав теорию нового класса функций, который он, с обычным для Пуанкаре равнодушием к вопросам приоритета, предложил назвать фуксовы функции ( фр. les fonctions fuchsiennes ) — хотя имел все основания дать этому классу своё имя. Дело закончилось тем, что Феликс Клейн предложил название «автоморфные функции», которое и закрепилось в науке . Пуанкаре вывел разложение этих функций в ряды, доказал теорему сложения. Эти открытия «можно по справедливости считать вершиной всего развития теории аналитических функций комплексного переменного в XIX веке» .

При разработке теории автоморфных функций Пуанкаре обнаружил их связь с геометрией Лобачевского , что позволило ему изложить многие вопросы теории этих функций на геометрическом языке. Он опубликовал наглядную модель геометрии Лобачевского , с помощью которой иллюстрировал материал по теории функций.

После работ Пуанкаре эллиптические функции из приоритетного направления науки превратились в ограниченный частный случай более мощной общей теории. В XX веке результаты Пуанкаре были распространены на случай функций многих переменных (см., например, модулярные функции ). Предприняты попытки ещё более обобщить класс автоморфных функций ( автоморфные формы ).

Применение

Автоморфные функции находят широкое применение во многих областях точных наук . В частности:

• Они позволяют решить любое линейное дифференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами.
• Доказана возможность униформизации алгебраических кривых , то есть представления их через автоморфные функции. Это 22-я проблема Гильберта , решённая Пуанкаре в 1907 году .
• Методы данной теории эффективно применяются в алгебраической геометрии , теории алгебраических групп, теории многообразий и даже в теории чисел .

Примечания

Литература

• Голубев В. В. . — М.: Физматлит, 1961.
• Клейн Ф. . — Т. I, глава 8. — М.-Л.: ГОНТИ, 1937. — 432 с.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века, в трёх томах. — М. : Наука, 1978—1987. — Т. 2.
• Пуанкаре А. — Т. 3. — М.: Наука, 1971—1974.
• Форд Л. P. Автоморфные функции. — пер. с англ. — М.— Л., 1936.
• Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973.
• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М. — Л. : Гостехтеориздат, 1941. — 400 с.
• Сильвестров В. В. // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — № 3 . — С. 124—127 .

Ссылки