Теорема Холево — важная ограничивающая теорема в области квантовых вычислений , междисциплинарной области физики и информатики . Её иногда называют границей Холево , поскольку теорема устанавливает верхнюю границу на количество информации, которую можно узнать о квантовом состоянии (доступная информация). Теорему опубликовал Александр Семёнович Холево в 1973 году.

Вводная информация

Как и для других концепций квантовой теории информации , понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб . У Алисы есть классическая случайная величина X , которая может принимать значения {1, 2, …, n } с соответствующими вероятностями ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}}$ . Алиса подготавливает квантовое состояние , представленное матрицей плотности ${\displaystyle \rho _{X}}$ , выбранной из множества ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\}}$ , и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X , которое осуществляется через измерение состояния ${\displaystyle \rho _{X}}$ , что даёт классический результат, обозначаемый через Y . В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X , является максимальным значением взаимной информации I ( X : Y ) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать .

В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой .

Утверждение теоремы

Пусть ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\}}$ будет множеством смешанных состояний и пусть ${\displaystyle \rho _{X}}$ будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности ${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}}$ .

Теперь для любого измерения, описываемого элементами ( англ. positive operator-valued measure , положительная операторная мера) ${\displaystyle \{E_{Y}\}}$ и осуществлённого на ${\displaystyle \rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}}$ , количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:

${\displaystyle I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})}$

где ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}}$ ; ${\displaystyle S(\cdot )}$ является .

Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево :

${\displaystyle \chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})}$ .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами ${\displaystyle P,Q,M}$ . При этом ${\displaystyle P}$ рассматривается как подготовка , ${\displaystyle Q}$ — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а ${\displaystyle M}$ — как средства измерения полученной информации Боба.

Сложная система ${\displaystyle P\otimes Q\otimes M}$ в начале находится в состоянии

${\displaystyle \rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|}$

Состояние Алисы ${\displaystyle P}$ можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение ${\displaystyle x}$ для случайной переменной ${\displaystyle X}$ . Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием , описываемым матрицей плотности ${\displaystyle \sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|}$ , квантовое состояние, переданное Бобу, равно ${\displaystyle \sum _{x}p_{x}\rho _{x}}$ , а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ .

Используя известные результаты квантовой теории информации ^{[ какие? ]} можно показать ^{[ как? ]} , что

${\displaystyle S(P';M')\leqslant S(P;Q)}$

Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать ^{[ как? ]} , что это эквивалентно утверждению теоремы .

Замечания

По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит , хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь , то есть получить на практике , не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит . Это удивительно по двум причинам ^{[ источник не указан 1002 дня ]} :

1. квантовые вычисления часто настолько более мощные по сравнению с обычными вычислениями, что результаты, показывающие, что они лишь незначительно лучше, или даже хуже обычных техник, выглядят странно;
2. требуется ${\displaystyle 2^{n}}$ комплексных чисел для кодирования кубита, который представляет лишь n бит.

См. также

• Квантовое сверхплотное кодирование

Примечания

Литература