Конгруэ́нтное число — натуральное число , равное площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числами . Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством .

Конгруэнтные числа образуют последовательность

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (последовательность в OEIS )

Таблица конгруэнтного числа: n ≤ 120
—: неконгруэнтное число K: без квадрата Конгруэнтное число Q: Конгруэнтное число с квадратным коэффициентом
n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	Q	K	K	K	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	K	—	—	K	K	K	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	K	—	—	—	Q	K	K	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	Q	K	Q	K	Q
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	Q	K	K	Q	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	K	—	—	—	K	K	K	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	Q	Q	K	K	Q

Например, 5 является конгруэнтным числом, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 20/3, 3/2 и 41/6. Таким же образом, число 6 является конгруэнтным, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 3,4 и 5. 3 не является конгруэнтным.

Если q является конгруэнтным числом, то s ² q тоже является конгруэнтным для некоторого числа s (просто умножим каждую сторону треугольника на s ), обратное тоже верно. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его смежного класса в группе

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$ .

Любой смежный класс в этой группе содержит в точности одно свободное от квадратов число , поэтому, когда говорят о конгруэнтных числах, имеют в виду только свободные от квадратов положительные целые числа.

Задача о конгруэнтном числе

Площадь прямоугольного треугольника через катеты выражается так:

${\displaystyle S=ab/2}$

Требование прямоугольности треугольника выражается так:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

где a , b — катеты треугольника, c — его гипотенуза . Задача определения, является ли натуральное число S конгруэнтным, сводится к поиску рационального решения этой системы уравнений.

Задача определения, является ли данное целое число конгруэнтным, носит имя задача о конгруэнтном числе . Задача (к 2012) пока не решена. даёт простой критерий проверки для определения, является ли число конгруэнтным, но этот результат основывается на гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера , которая не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике , названная в честь Пьера Ферма , утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным. Однако, в виде утверждения, что любая разность (шаг) между последовательными членами арифметической прогрессии квадратов не является полным квадратом, этот факт был уже известен (без доказательства) Фибоначчи . Любой такой шаг прогрессии является конгруэнтным числом, и любое конгруэнтное число является произведением шага прогрессии на квадрат рационального числа . Однако определение, является ли число шагом прогрессии квадратов, является существенно более простой задачей, поскольку существует параметрическая формула, в которой необходимо проверить лишь конечное число значений параметров .

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос, является ли данное число конгруэнтным, оказывается эквивалентен условию, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг . Альтернативный подход к идее представлен ниже (и может быть найден во введении в работе Таннела).

Предположим, что a , b и c — числа (не обязательно положительные или рациональны), которые удовлетворяют следующим условиям:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$

Положим x = n ( a + c )/ b и y = 2 n ² ( a + c )/ b ² . Получим

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

и y не равен 0 (если y = 0, то a = - c , так что b = 0, но (1/2) ab = n нулю не равно, противоречие).

Обратно, если x и y являются числами, удовлетворяющими уравнениям выше, и y не равен 0, положим a = ( x ² — n ² )/ y , b = 2 nx / y , и c = ( x ² + n ² )/ y . Вычисления показывают, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям выше.

Соответствие между ( a , b , c ) и ( x , y ) обратимо, так что мы имеем взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух уравнений для a , b и c и решениями для x и y , где y не равен нулю. В частности, из формул для a , b и c следует, что для рационального n числа a , b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также получаем, что a , b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны. Из уравнения y ² = x ³ — xn ² = x ( x ² — n ² ) заметим, что если x и y положительны, то x ² — n ² должно быть положительно, так что формула выше для a даст положительное число.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда y ² = x ³ — n ² x имеет с неравным нулю y . Можно показать (как изящное следствие теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), что только точки кручения этой эллиптической кривой имеют y , равное 0, откуда следует, что существование рациональных точек с ненулевым y эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Современное состояние

Множество работ посвящено классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно , что для простого числа p выполняется следующее:

• если p ≡ 3 ( mod 8), то p не является конгруэнтным, но 2 p является.
• если p ≡ 5 (mod 8), то p является конгруэнтным.
• если p ≡ 7 (mod 8), то p и 2 p конгруэнтны.

Также известно , что в каждом из классов вычетов 5, 6, 7 (mod 8) и любого заданного k имеется бесконечно много свободных от нулей конгруэнтных чисел с k простыми множителями.

См. также

• Пифагоровы числа

Примечания

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М. : Мир, 1988.
• Острик В. В., Цфасман М. А. . — М. : МЦНМО , 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое освещение»). — ISBN 5-900916-71-5 .
• Стюарт, Иэн . Диофантовы мечты . Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера // Величайшие математические задачи. — М. : < Альпина нон-фикшн >, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
• Чистяков И. И. // Математическое Просвещение . — М. — Л. : ОНТИ , 1934. — Вып. 1 . — С. 10—16 .
• Silverberg, Alice. ( PostScript ). — Короткое обсуждение состояния проблемы и много ссылок.
• Richard Guy . Unsolved Problems in Number Theory. — ISBN 0-387-20860-7 . — Много ссылок.
• Leonard Eugene Dickson . History of the Theory of Numbers . — Т. II. — ISBN 0-8218-1935-6 . — История проблемы.
• Ronald Alter. // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1980. — Т. 87 , вып. 1 . — С. 43—45 . — doi : . — JSTOR .
• Chandrasekar V. The Congruent Number Problem // Resonance. — 1998. — Т. 3 , вып. 8 . — С. 33—45 . — doi : .
• Jerrold B. Tunnell. // Inventiones Mathematicae . — 1983. — Т. 72 , вып. 2 . — С. 323—334 . — doi : .

Ссылки

• — mathematicians have resolved the first one trillion cases (conditional on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture ).
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .