Interested Article - Дизъюнкция
![](/images/007/295/7295313/1.jpg?rand=774010)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/84dfdcb9d5ea5a538ca6c185070a798e.jpg)
- 2021-07-06
- 1
Дизъю́нкция (от лат. disjunctio — «разобщение»), логи́ческое сложе́ние , логи́ческое ИЛИ , включа́ющее ИЛИ ; иногда просто ИЛИ — логическая операция , по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу» .
Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и -арной (имеющей операндов) для произвольного .
Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами ( польская запись ), инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.
Инверсией дизъюнкции является стрелка Пирса .
Обозначения
Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:
- || |
При этом обозначение
, рекомендованное международным стандартом
ISO 31-11
, наиболее широко распространено в современной
математике
и
математической логике
. Появилось оно не сразу:
Джордж Буль
, положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё
строгую дизъюнкцию
, которую обозначал знаком
+
), а
Уильям Джевонс
предложил для дизъюнкции знак
·|·
.
Эрнст Шрёдер
и
П. С. Порецкий
вновь использовали знак
+
, но уже применительно к обычной дизъюнкции
. Символ
как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов»
Бертрана Рассела
(1908); он образован от
лат.
vel
, что означает «или»
.
Обозначение
⋁
для дизъюнкции было использовано и в раннем
языке программирования
Алгол 60
. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных
наборах символов
(например, в
ASCII
или
EBCDIC
), применявшихся на большинстве
компьютеров
, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в
Фортране IV
и
PL/I
применялись соответственно обозначения
.OR.
и
|
(с возможностью замены последнего на
ключевое слово
OR
)
; в языках
Паскаль
и
Ада
используется зарезервированное слово
or
; в языках
C
и
C++
применяются обозначения
|
для побитовой дизъюнкции и
||
для логической дизъюнкции
).
Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что ), оказывается, что Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума ; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики .
Булева алгебра
Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция ( логи́ческое «ИЛИ» , логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ» ). При этом результат равен наибольшему операнду.
В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Таким образом, результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .
Таблица истинности | ||
---|---|---|
Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Многозначная логика
Операция, называемая в двоичной логике
дизъюнкция
, в
многозначных логиках
называется
максимум
:
, где
, а
— значность логики. Возможны и другие варианты
[
чего?
]
. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов
.
Название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция , логи́ческое «ИЛИ» , логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.
Классическая логика
В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом . Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:
С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.
Схемотехника
![](/images/007/295/7295313/48.jpg?rand=95537)
Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:
- «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
- «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»
Теория множеств
С точки зрения теории множеств , дизъюнкция аналогична операции объединения .
Программирование
В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое — символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова « or », а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.
Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:
if (a || b)
{
/* какие-то действия */
};
Результат будет равен , если оба операнда равны или . В любом другом случае результат будет равен .
При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую
{$B-}
или выключающую
{$B+}
подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:
if (a == NULL || a->x == 0)
{
/* какие-то действия */
};
В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.
Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,
если | |
a = | |
b = | |
то | |
a ИЛИ b = |
Связь с естественным языком
Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и (или)», иногда «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как .
Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — строгой дизъюнкции ( исключающего «ИЛИ» ).
См. также
- Идентичность
- Отрицание
- Конъюнкция
- Импликация
- Обратная импликация
- Штрих Шеффера
- Стрелка Пирса
- Условная дизъюнкция
- Таблица истинности
- Закон тождества
Примечания
- Гутников В. С. . Интегральная электроника в измерительных приборах. — Л. : Энергия , 1974. — 144 с. — С. 14—16.
- , с. 534.
- Стяжкин Н. И. . Формирование математической логики. — М. : Наука , 1967. — 508 с. — С. 320, 349, 352, 368.
- Russell B. // American Journal of Mathematics . — 1908. — Vol. 30, no. 3. — P. 222—262. 4 апреля 2019 года.
- . // Website Jeff Miller Web Pages . Дата обращения: 5 февраля 2016. 20 февраля 1999 года.
- , с. 149—150.
- , с. 30.
- Пратт Т. . Языки программирования: разработка и реализация. — М. : Мир , 1979. — 574 с. — С. 352, 439.
- Грогоно П. . Программирование на языке Паскаль. — М. : Мир , 1982. — 384 с. — С. 51.
- Вегнер П. . Программирование на языке Ада. — М. : Мир , 1983. — 240 с. — С. 68.
- , Строуструп Б. . Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М. : Мир , 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4 . — С. 65, 86—87.
- Яблонский С. В. . Введение в дискретную математику. — М. : Наука , 1979. — 272 с. — С. 9—10, 37.
- Рвачёв В. Л. . Теория R- функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка , 1982. — 552 с. — С. 38, 66.
Литература
- Кондаков Н. И. . . — М. : Наука , 1975. — 720 с.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/84dfdcb9d5ea5a538ca6c185070a798e.jpg)
- 2021-07-06
- 1