В физике , при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО), возникает понятие сложного движения — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух системах отсчета (далее СО).

Геометрия задачи

Обычно принимают одну из СО за базовую («абсолютную», «лабораторную», «неподвижную», «СО неподвижного наблюдателя», «первую», «нештрихованную» и т. п.), другую называют «подвижной» («СО подвижного наблюдателя», «штрихованной», «второй» и т. п.) и вводят следующие термины:

• абсолютное движение — это движение материальной точки /тела в базовой СО. В этой СО радиус-вектор тела будем обозначать ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , а скорость тела — ${\displaystyle {\vec {V}}_{r}(t)}$ ;
• относительное движение — это движение материальной точки/тела относительно подвижной системы отсчёта. В этой СО радиус-вектор тела — ${\displaystyle {\vec {r'}}(t)}$ , скорость тела — ${\displaystyle {\vec {V}}_{r'}(t)}$ ;
• перено́сное движение — это движение подвижной системы отсчета и всех постоянно связанных с нею точек пространства относительно базовой системы отсчета. Переносное движение материальной точки — это движение той точки подвижной СО, в которой в данный момент времени находится эта материальная точка. Радиус-вектор начала системы координат подвижной СО — ${\displaystyle {\vec {R}}(t)}$ , его скорость — ${\displaystyle {\vec {V}}_{R}(t)}$ , угловая скорость вращения подвижной системы отсчета относительно базовой — ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{R}(t)}$ . Если эта угловая скорость равна нулю, говорят о поступательном движении подвижной СО.

Переносная скорость ${\displaystyle {\vec {V}}_{e}(t)}$ — это скорость в базовой системе отсчёта произвольной точки, зафиксированной относительно подвижной СО, обусловленная движением этой подвижной СО относительно базовой. Например, это скорость той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится материальная точка. Переносная скорость ${\displaystyle {\vec {V}}_{e}(t)}$ равна ${\displaystyle {\vec {V}}_{R}(t)={\frac {d{\vec {R}}}{dt}}}$ только в тех случаях, когда подвижная СО движется поступательно .

Вводятся также понятия соответствующих ускорений ${\displaystyle {\vec {a}}_{r}(t)}$ , ${\displaystyle {\vec {a}}_{r'}(t)}$ , ${\displaystyle {\vec {a}}_{R}(t)}$ , ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}_{R}(t).}$ и ${\displaystyle {\vec {a}}_{e}(t)}$ .

С точки зрения только чистой кинематики (задачи пересчёта кинематических величин — координат, скоростей, ускорений — от одной системы отсчета к другой) не имеет значения, является ли какая-то из систем отсчета инерциальной или нет; это никак не сказывается на формулах преобразования кинематических величин при переходе от одной системы отсчета к другой (то есть эти формулы можно применять и для перехода от одной произвольной неинерциальной вращающейся системы отсчета к другой).

Однако для динамики инерциальные системы отсчета имеют особое значение: в них механические явления описываются наиболее простым образом и, соответственно, уравнения динамики формулируются изначально именно для инерциальных систем отсчета . Поэтому особенно важны случаи перехода от инерциальной системы отсчета к другой инерциальной, а также от инерциальной к неинерциальной и обратно.

В дальнейшем изложении по умолчанию базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Классическая механика опирается на представления о Евклидовом пространстве и принцип относительности Галилея , что позволяет использовать преобразования Галилея .

Кинематика сложного движения точки

Кинематика движения, основанная на анализе траектории движущегося тела, в общем случае не даёт полной информации для классификации этих движений. Так, движение по прямой в неинерциальной системе отсчёта может быть криволинейным (и, следовательно, обусловленным действующими на тело силами) в инерциальной СО. И, наоборот, прямолинейное в инерциальной СО может быть криволинейным в неинерциальной, и, следовательно, провоцировать представление о якобы действующих на тело силах.

Путь

Абсолютное движение и его путь представлены изменением радиуса вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , рассматриваемого в виде суммы векторов переносного и относительного движений:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {R}}+{\vec {r'}}.}$

Скорость

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Связь скоростей определяется дифференцированием связи для положений. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть:

${\displaystyle {\vec {V}}_{r}={\vec {V}}_{r'}+{\vec {V}}_{e}.}$

Данное равенство представляет собой содержание теоремы о сложении скоростей .

Вместе с приведённым равенством всегда справедливо и соотношение

${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\frac {d({\vec {R}}+{\vec {r'}})}{dt}}={\frac {d{\vec {R}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}}{dt}}.}$

Однако в общем случае в этом соотношении ${\displaystyle {\frac {d{\vec {R}}}{dt}}}$ не является переносной скоростью, а ${\displaystyle {\frac {d{\vec {r'}}}{dt}}}$ не относительная скорость. Таковыми они становятся только в тех случаях, когда подвижная СО движется поступательно, то есть, не вращаясь .

Ускорение

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что относительное перемещение также может зависеть от времени.

Абсолютное ускорение ${\displaystyle {\vec {a}}_{r}(t)}$ будет равно сумме:

${\displaystyle {\vec {a}}_{r}\ \ =\ \ {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}\ \ =\ \ {\frac {d^{2}{\vec {R}}}{dt^{2}}}\ \ +\ \ {\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r'}}\ \ +\ \ {\vec {\omega }}\times \left[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}\right]\ \ +\ \ {2\ {\vec {\omega }}\times {\vec {V}}_{r'}}\ \ +\ \ {\vec {a}}_{r'}.}$

Здесь:

• сумма первых трех членов называется переносным ускорением ${\displaystyle {\vec {a}}_{e}}$ .

• первый член — переносное поступательное ускорение второй системы относительно первой,

• второй член — переносное вращательное ускорение второй системы, возникающее из-за неравномерности её вращения.

• третий член представляет собой вектор, противоположно направленный осестремительной составляющей ${\displaystyle {\vec {r'}}_{n}}$ вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , перпендикулярной ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ (что можно получить, рассматривая это двойное векторное произведение — оно равно ${\displaystyle -{\vec {r'}}_{n}\omega ^{2}}$ ) и потому представляет собой осестремительное ускорение . Оно совпадает с нормальным переносным ускорением той точки вращающейся системы, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка (не путать с нормальным ускорением движущейся точки, направленным по нормали к её траектории).

• четвертый член есть Кориолисово ускорение , порождаемое взаимным влиянием переносного вращательного движения второй системы отсчета и относительного поступательного движения точки относительно её.
• последний член ${\displaystyle {\vec {a}}_{r'}={\frac {d{\vec {V}}_{r'}}{dt}}}$ — ускорение точки относительно подвижной системы отсчета.

Кинематика сложного движения тела

Согласно Первому закону Ньютона, все виды движений при их рассмотрении в инерциальной системе координат могут быть отнесены к одной из двух категорий. А именно — к категории прямолинейных и равномерных (то есть имеющих постоянную скорость) движений, возможных исключительно при отсутствии нескомпенсированных сил, действующих на тело. Нередко встречающееся, даже в справочной литературе , отнесение этого вида движений к категории поступательных движений противоречит определению понятия « Поступательное движение », поскольку движение, имеющее классификационный признак поступательного, в инерциальной системе может происходить по любой траектории, но не обязательно исключительно по прямой.

К другой категории относятся все остальные виды движений.

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа ), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. В общем случае движение будет слагаться из серии мгновенных .

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

Концепция Ньютона о пропорциональности получаемого телом ускорения под действием любой силы в инерциальных системах отсчёта выполняется всегда . Под силой при этом понимается мера механического действия на данное материальное тело других тел , обязательно являющаяся результатом взаимодействия тел . Альтернатив этой концепции в классическом разделе материалистической физики нет .

Однако при рассмотрении движений в неинерциальной системе отсчёта, наряду с силами, происхождение которых можно проследить, как результат взаимодействия с другими телами и полями, возможно ввести в рассмотрение и физические величины другой природы — силы инерции. Их введение и использование позволяет придать уравнению движения тел в неинерциальных системах отсчёта форму, совпадающую с формой уравнения второго закона Ньютона в инерциальных системах отсчёта.

Для того, чтобы различать силы двух упомянутых видов, термин силы инерции часто сопровождают дополнительным определением, таким, как, например фиктивные или кажущиеся .

Привлечение представлений о силах инерции для описания движения тел в неинерциальных системах отсчёта может быть полезным и эффективным. Например, действием силы инерции в системе отсчёта, связанной с вращающейся вокруг своей оси Землёй, может быть объяснён эффект замедления хода маятниковых часов, наблюдающийся по мере их приближения к экватору. Другой пример — действие силы Кориолиса на воду в реках, текущих в меридиональном направлении. Следствием такого действия является неодинаковость размыва правых и левых (по направлению течения) берегов рек. Ещё более значительным является действие силы Кориолиса на морские течения и воздушные потоки в атмосфере .

Релятивистская механика

Релятивистская механика опирается на неевклидово пространство Минковского и принцип относительности Эйнштейна , что вынуждает прибегать к более сложному преобразованию Лоренца . При скоростях, существенно меньших скорости света, релятивистская механика может быть сведена к классической.

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:

${\displaystyle v_{x}'={\frac {v_{x}-u}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},v_{y}'={\frac {v_{y}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},v_{z}'={\frac {v_{z}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},}$

в предположении, что скорость ${\displaystyle {\vec {u}}}$ направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Однако вводится величина — быстрота — которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.

Неинерциальные СО

Связь скоростей и ускорений в системах отсчёта, движущихся друг относительно друга ускоренно, является значительно более сложной и определяется локальными свойствами пространства в рассматриваемых точках (зависит от производной тензора Римана ).

Примечания

Литература

• Гернет М. М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа.— 1973.— 464 с.
• Четаев Н. Г. Теоретическая механика. М.: Наука.— 1987.— 368 с.
• Тарг С. М. Относительное движение // Физическая энциклопедия / Прохоров А. М. (гл. ред.). — М. : Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 493. — 672 с. — ISBN 5-85270-019-3 .
• Тарг С. М. Относительное движение // Физический энциклопедический словарь / Введенский Б. А. (гл. ред.). — М. : Советская энциклопедия, 1963. — Т. 3. — С. 553. — 624 с.

Иллюстрации