Interested Article - Выворачивание сферы

Один из способов выворачивания сферы, промежуточная конфигурация, поверхность Морина

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии . Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость . Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым .

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом . Представить конкретный пример такого преобразования достаточно сложно, поэтому этот результат называют парадоксом Смейла . Для наглядности объяснения было создано множество визуализаций.

Процесс выворачивания сферы

Формулировка

Пусть $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]$ , такое, что $f_{0}=f$ и $f_{1}=-f$ .

История

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом в 1957 году . Рауль Ботт , дипломный консультант Смейла, сначала заявил, что результат очевидно неверен. Он объяснил это тем, что при таком преобразовании должна сохраняться степень отображения Гаусса . Например, нет такого преобразования для окружности в рамках плоскости. Однако для трёхмерного пространства степени отображений Гаусса у $f$ и у $-f$ в $\mathbb {R} ^{3}$ обе равны 1 и не имеют противоположные знаки, вопреки ошибочному предположению. Степень отображения Гаусса для всех погружений $\mathbb {S} ^{2}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ равна 1, таким образом нет никаких препятствий.

Вариации и обобщения

Выворачивание сферы можно осуществить также в классе $C^{1}$ -гладких изометрических погружений.
Шестимерная сфера $S^{6}$ $S^{6}$ , вложенная в семимерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{7}$ $\mathbb {R} ^{7}$ , также допускает выворачивание наизнанку. Вместе с нульмерной сферой $S^{0}$ $S^{0}$ (двумя точками) на прямой $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ и двумерной сферой $S^{2}$ $S^{2}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ это единственные возможные случаи, когда сфера $S^{n}$ $S^{n}$ , вложенная в $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ , допускает выворачивание наизнанку.
- Более того, справедлива теорема Смейла — Кайзера : любые два погружения сфер $S^{n}$ в $\mathbb {R} ^{n+1}$ регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда $n=0,2,6$ . Для всех остальных $n$ вложенные сферы с разными ориентациями не являются регулярно гомотопными.
H-принцип — общий способ решения подобных задач.

Примечания

Е. А. Кудрявцева,. (неопр.) . Матем. сб., 190:3 (1999), 32 . www.mathnet.ru. Дата обращения: 23 февраля 2017. 24 февраля 2017 года.
Громов, М. Дифференциальные соотношения в частных производных.
Й. Малешич, П.Е. Пушкарь, Д. Реповш. (неопр.) . Дата обращения: 3 декабря 2020. 25 ноября 2020 года.

Литература

Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281—290.
Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.
Скопенков А.Б. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения. — 2-е изд., доп. — М: МЦНМО, 2020. — 304 с.