Нерешённые проблемы математики : Чему равно наименьшее число Ризеля?

В математике число Ри́зеля — нечётное натуральное число ${\displaystyle k}$ , для которого целые числа вида ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ составные для всех натуральных чисел ${\displaystyle n.}$ Другими словами, когда ${\displaystyle k}$ — число Ризеля, все элементы множества ${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}$ составные. В 1956 году ( швед. ) доказал, что существует бесконечное число целых чисел ${\displaystyle k}$ таких, что ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ является составным для любого целого ${\displaystyle n}$ . Он показал, что этим свойством обладает число 509 203, а также 509 203 плюс любое натуральное число , умноженное на 11 184 810 . То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показано нахождением покрывающего множества простых чисел, на которые будет делиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньше одного миллиона имеют следующие покрывающие множества:

• 509 203·2 ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 762 701·2 ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 777 149·2 ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 790 841·2 ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 992 077·2 ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и числом Серпинского , например 143 665 583 045 350 793 098 657 .

Проблема Ризеля

Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Так как ни для одного числа ${\displaystyle k<509203}$ не найдено покрывающее множество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числом Ризеля.

Поиском кандидатов на числа Ризеля занимается проект добровольных распределённых вычислений PrimeGrid , где рассчитываются значения последовательностей ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ для всех натуральных ${\displaystyle n}$ , начиная с 1. Изначально, в марте 2010 года был известен 101 кандидат на числа Ризеля. Если в такой последовательности оказывается простое число, то этот кандидат исключается из рассмотрения.

По состоянию на ноябрь 2023 года осталось 42 значения ${\displaystyle k<509203}$ для которых последовательность содержит только составные числа для всех проверенных значений ${\displaystyle n}$ . Вот они :

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

См. также

• Экспериментальная математика
• Открытые математические проблемы
• Открытые проблемы в теории чисел
• BOINC
• Числа Мерсенна

Примечания

Литература

• Riesel, Hans. Några stora primtal (швед.) // Elementa. — 1956. — Bd. 39 . — S. 258-260 .
• (англ.) . Дата обращения: 17 сентября 2012. Архивировано из 18 октября 2012 года.
• (англ.) . Дата обращения: 17 сентября 2012. Архивировано из 17 июля 2012 года.
• Guy, Richard K. (англ.) . — Берлин : Springer-Verlag , 2004. — 120 p. — ISBN 0-387-20860-7 .
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records (англ.) . — Нью-Йорк : Springer-Verlag , 1996. — ISBN 0-387-94457-5 .