В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре . В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра сбалансирована . Теорема была независимо сформулирована Ольгой Бондаревой и Ллойдом Шепли в 1960-х.

Теорема

Пусть дана кооперативная игра ${\displaystyle \;\langle N,v\rangle \;}$ , в которой ${\displaystyle \;\;N\;}$ — множество игроков, а функция полезности ${\displaystyle \;v:2^{N}\to \mathbb {R} \;}$ определена на множестве всех подмножеств ${\displaystyle N}$ .
Ядро игры ${\displaystyle \;\langle N,v\rangle \;}$ непусто тогда и только тогда, когда для любой функции ${\displaystyle \alpha :2^{N}\setminus \{\varnothing \}\to [0,1],}$ где
${\displaystyle \forall i\in N:\sum _{S\in 2^{N}:\;i\in S}\alpha (S)=1}$
выполнено следующее условие:

${\displaystyle \sum _{S\in 2^{N}\setminus \{\emptyset \}}\alpha (S)v(S)\leq v(N).}$

Литература

• Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. Выпуск 10. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 119—139 .
• Kannai, Y (1992), "The core and balancedness", in Aumann, Robert J. ; Hart, Sergiu (eds.), Handbook of Game Theory with Economic Applications, Volume I. , Amsterdam: Elsevier, pp. 355—395, ISBN 978-0-444-88098-7
• Shapley, Lloyd S. On balanced sets and cores (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1967. — Vol. 14 . — P. 453—460 . — doi : .