Окружности Вилларсо — пара окружностей , получаемых при сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью , проходящей через центр тора. В силу симметрии тора эта плоскость касается поверхности тора дважды, то есть является бикасательной.

Названы в честь французского астронома и[математика Ивона Вилларсо .

Семейства параллелей, меридианов и два семейства окружностей Вилларсо вкупе составляют четыре попарно трансверсальных семейства окружностей на торе. . Таким же свойством — иметь четыре попарно трансверсальных семейства окружностей — обладают (конформные образы тора вращения).

Формулу для окружностей можно получить перемножением уравнений двух пересекающиеся окружности радиуса ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$ ( ${\displaystyle r<R}$ ):

${\displaystyle (x+r)^{2}+y^{2}-R^{2}=0}$ ,

${\displaystyle (x-r)^{2}+y^{2}-R^{2}=0}$ ,

то есть в виде:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0}$ .

Это уравнение четвёртого порядка задаёт две пересекающиеся окружности и, очевидно, является формулой торического сечения . В точках пересечения окружностей пересекаются кривые, принадлежащие одновременно плоскости сечения и поверхности тора. Поэтому в этих точках секущая плоскость касается поверхности тора.

Примечания

Литература

• Yvon Villarceau, Antoine Joseph François . Théorème sur le tore (фр.) // : magazine. — Paris: Gauthier-Villars, 1848. — Vol. 7 Série 1 . — P. 345—347 .
• Coxeter, H. S. M. (англ.) . — 2/e. — Wiley, 1969. — P. —133. — ISBN 978-0-471-50458-0 .