Комплексный логарифм — аналитическая функция , получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе . В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна .

Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для вещественных, то есть как обращение показательной функции . На практике используется практически только натуральный комплексный логарифм, основание которого — число Эйлера ${\displaystyle e}$ : он обозначается обычно ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ .

Натуральный логарифм комплексного числа ${\displaystyle z}$ определяется как решение ${\displaystyle w}$ уравнения ${\displaystyle e^{w}=z.}$

Другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже.

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера , ${\displaystyle e^{\pi i}=-1}$ ; однако также ${\displaystyle e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1}$ . Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ ) , и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция ${\displaystyle w=\mathrm {Ln} \,z}$ является многозначной .

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое ${\displaystyle z}$ можно представить в показательной форме:

${\displaystyle z=r\cdot e^{i(\varphi +2\pi k)}\;\;,}$ где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число

Тогда ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ находится по формуле :

${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)}$

Здесь ${\displaystyle \ln \,r=\ln \,|z|}$ — вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Комплексный логарифм ${\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}$ существует для любого ${\displaystyle z\neq 0}$ , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное ${\displaystyle 2\pi .}$

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается ${\displaystyle \ln \,z}$ . Иногда через ${\displaystyle \ln \,z}$ также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если ${\displaystyle z}$ — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

${\displaystyle \operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})}$

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к ${\displaystyle -\infty .}$

Логарифм отрицательного числа находится по формуле :

${\displaystyle \mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )}$

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма ( ${\displaystyle \ln }$ ) и общее его выражение ( ${\displaystyle \mathrm {Ln} }$ ) для некоторых аргументов:

${\displaystyle \ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i}$

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi }$

${\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1)}$

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

${\displaystyle i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }$ — явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ( ${\displaystyle k=-1}$ ). Причина ошибки — неосторожное использование свойства ${\displaystyle \log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b}$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии , которое называется римановой поверхностью . Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна . Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при ${\displaystyle z=1}$ . Особые точки: ${\displaystyle z=0}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ (точки разветвления бесконечного порядка) .

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки ${\displaystyle 0}$ .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость . Пусть кривая ${\displaystyle \Gamma }$ начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке ${\displaystyle w}$ кривой ${\displaystyle \Gamma }$ можно определить по формуле :

${\displaystyle \ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}}$

Если ${\displaystyle \Gamma }$ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

${\displaystyle \ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma }$

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости , кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на ${\displaystyle 2\pi }$ . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой ${\displaystyle \Gamma }$ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма :

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}}$

Для любой окружности ${\displaystyle S}$ , охватывающей точку ${\displaystyle 0}$ :

${\displaystyle \oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i}$

Интеграл берётся в положительном направлении ( против часовой стрелки ). Это тождество лежит в основе теории вычетов .

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью версий ряда Меркатора , известных для вещественного случая:

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots }$

(Ряд 1)

${\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)}$

(Ряд 2)

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой ( формула Эйлера ), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями :

${\displaystyle \operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}$

${\displaystyle \operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})}$

${\displaystyle \operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)}$

${\displaystyle \operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)}$

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом :

${\displaystyle \operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1}})}$ — обратный гиперболический синус

${\displaystyle \operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}$ — обратный гиперболический косинус

${\displaystyle \operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)}$ — обратный гиперболический тангенс

${\displaystyle \operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)}$ — обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить ${\displaystyle \log(-x)=\log(x)}$ , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа , исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции , определяемой как интеграл от ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$ . Риман , опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей .

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии , возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм .

Литература

Теория логарифмов

• Корн Г., Корн Т. . — М. : Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

• Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М. : Наука, 1981. — Т. II.

Примечания