Interested Article - Особое решение

Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее.

Определение

Рассмотрим уравнение

где -гладкая функция в некоторой области . Решение называется особым решением уравнения (1), если каждая точка соответствующем ему интегральной кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Коши с начальным условием

.

Другими словами, в каждой точке особое решение касается другого решения, которое не совпадает с ним тождественно ни в какой сколь угодно малой окрестности этой точки .

Свойства

  • Особое решение (точнее, его график) является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).
  • Дискриминантная кривая уравнения (1) — это множество (например, кривая или совокупность кривых, но также бывает и точкой или пустым множеством) на плоскости переменных , задаваемое уравнениями . Особое решение уравнения (1), если оно существует, всегда содержится в дискриминантной кривой этого уравнения. Дискриминантная кривая может состоять из нескольких кривых, обладающих разными свойствами, некоторые из них могут быть графиками особых решений, а некоторые могут и не быть. Обратное не верно: дискриминантная кривая не обязательно является решением уравнения (а если является, то не обязательно особым) .
  • Из сказанного выше следует, что для практического отыскания особых решений уравнения конкретного уравнения нужно сначала найти его дискриминантную кривую, а затем проверить, является ли она (каждая её ветвь, если их несколько) особым решением уравнения (1), или нет .

Примеры

1. Дискриминантная кривая уравнения Чибрарио — координатная ось — является не решением, а геометрическим местом точек возврата его интегральных кривых.

2. Дискриминантная кривая уравнения — координатная ось — является решением этого уравнения, но его график не пересекается ни с какими другими интегральными кривыми этого уравнения, поэтому это решение не является особым.

Особые решения дифференциальных уравнений (жирные линии): уравнения Клеро (слева) и уравнения (справа).

3. Простыми примерами дифференциальных уравнений, имеющих особые решения, являются уравнение Клеро и уравнение , неособые решения которого задаются формулой с постоянной интегрирования , а особое решение имеет вид .

4. Дискриминантная кривая уравнения состоит из двух непересекающихся ветвей: и . Обе они являются решениями этого уравнения. Однако первая из них является особым решением, а вторая — нет: в каждой точке линии она касается какой-либо другой интегральной кривой этого уравнения, а к линии интегральные кривые лишь приближаются асимптотически при .

Примечания

  1. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2007, гл. 2, параграф 8, стр. 62.
  2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2007, гл. 2, параграф 8.
  3. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2007, гл. 2, параграф 8, пример 5.

Литература

  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
  • Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.
  • Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Физматлит, 2001.
  • Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004, 2007.
  • Павлова Н.Г., Ремизов А.О. . — М. : Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4 .
Источник —

Same as Особое решение