Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину ${\displaystyle x}$ , искомую функцию ${\displaystyle y}$ и её производные , то есть соотношение вида:

${\displaystyle \Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0}$

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией ${\displaystyle y}$ от переменной ${\displaystyle x}$ и её производными.

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

${\displaystyle y=x\varphi (y')+\psi (y')}$

где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ — известные функции от ${\displaystyle y'}$ , причём считаем, что функция ${\displaystyle \varphi (y')}$ отлична от ${\displaystyle y'}$ . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение , введя параметр ${\displaystyle y'=p}$ . Тогда уравнение можно записать в виде:

${\displaystyle y=x\varphi (p)+\psi (p)}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (1)}$

Замечая, что ${\displaystyle p={dy \over dx}}$ продифференцируем обе части этого уравнения по ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx}}$

Преобразуем его в виде

${\displaystyle p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx}}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (2)}$

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении ${\displaystyle p=p_{0}}$ , удовлетворяющему условию ${\displaystyle p_{0}-\varphi (p_{0})=0}$ . В самом деле, при любом постоянном значении ${\displaystyle p}$ , производная ${\displaystyle {dp \over dx}}$ тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению ${\displaystyle p=p_{0}}$ , то есть, ${\displaystyle {dy \over dx}=p_{0}}$ , является линейной функцией от ${\displaystyle x}$ , поскольку производная ${\displaystyle {dy \over dx}}$ , постоянна только у линейных функций . Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство ${\displaystyle (1)}$ значение ${\displaystyle p=p_{0}}$ , то есть

${\displaystyle y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})}$ .

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением .

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение ${\displaystyle (2)}$ в виде

${\displaystyle {dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)}}$

и будем считать ${\displaystyle x}$ , как функцию от ${\displaystyle p}$ . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции ${\displaystyle x}$ от ${\displaystyle p}$ . Решая его, найдём

${\displaystyle x=\omega (p,C)}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (3)}$

Исключая параметр ${\displaystyle p}$ из уравнений ${\displaystyle (1)}$ и ${\displaystyle (3)}$ найдём общий интеграл уравнения ${\displaystyle (1)}$ в виде

${\displaystyle \Phi (x,y,C)=0}$ .

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

${\displaystyle y=xy'+\psi (y')}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (1)}$

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда ${\displaystyle \varphi (y')=y'}$ . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим ${\displaystyle y'={dy \over dx}=p}$ . Тогда

${\displaystyle y=xp+\psi (p)}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (2)}$

Продифференцируем это уравнение по ${\displaystyle x}$ , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что ${\displaystyle p={dy \over dx}}$ , пишем

${\displaystyle p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx}}$

Преобразуем его к виду

${\displaystyle [x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0}$

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

${\displaystyle {dp \over dx}=0}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (3)}$

и

${\displaystyle [x+\psi '(p)]=0}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (4)}$

Интегрируя уравнение ${\displaystyle (3)}$ получим ${\displaystyle p=C=const}$ . Подставим значение ${\displaystyle p}$ в уравнение ${\displaystyle (2)}$ найдём его общий интеграл

${\displaystyle y=xC+\psi (C)}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (5)}$

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий . Если из уравнения ${\displaystyle (4)}$ найдём ${\displaystyle p}$ как функцию от ${\displaystyle x}$ , затем подставим её в уравнение ${\displaystyle (2)}$ , то получим функцию

${\displaystyle y=xp(x)+\psi [p(x)]}$ ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ ${\displaystyle (6)}$

Которая, как легко показать, является решением уравнения ${\displaystyle (1)}$ . Действительно, в силу равенства ${\displaystyle (4)}$ находим

${\displaystyle {dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx}}$

Но поскольку ${\displaystyle [x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0}$ , то ${\displaystyle {dy \over dx}=p}$ . Поэтому подставляя функцию ${\displaystyle (6)}$ в уравнение ${\displaystyle (1)}$ , получаем тождество

${\displaystyle xp+\psi (p)=xp+\psi (p)}$ .

Решение ${\displaystyle (6)}$ не получается из общего интеграла ${\displaystyle (5)}$ ни при каком значении произвольной постоянной ${\displaystyle C}$ . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра ${\displaystyle p}$ из уравнений

${\displaystyle y=xp+\psi (p)}$ и ${\displaystyle x+\psi '(p)=0}$

или, что без разницы, исключением ${\displaystyle C}$ из уравнений

${\displaystyle y=xC+\psi (C)}$ и ${\displaystyle x+\psi '(C)=0}$

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом ${\displaystyle (5)}$ .

Приложения уравнения Клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной , причём это свойство должно относиться к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

${\displaystyle Y-y=y'(X-x)}$

или

${\displaystyle Y=y'X+(y-xy')}$

Любое свойство касательной выражается соотношением между ${\displaystyle (y-xy')}$ и ${\displaystyle y'}$ :

${\displaystyle \Phi (y-xy',y')=0}$

Решая его относительно ${\displaystyle (y-xy')}$ , придём к уравнению вида

${\displaystyle y=xy'+\psi (y')}$ , то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. также

• Соотношение Клеро

Ссылки