Дополнительный код ( англ. "two’s complement" , иногда "twos-complement" ) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах . Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, что упрощает архитектуру ЭВМ . В англоязычной литературе « обратный код » называют «дополнением единиц» ( англ. "ones' complement" ), а «дополнительный код» называют «дополнением двойки» ( англ. "two’s complement" ).

Дополнительный код для отрицательного числа можно получить инвертированием его двоичного модуля и прибавлением к инверсии единицы, либо вычитанием числа из нуля.
Дополнительный код двоичного числа определяется как величина, полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из ${\displaystyle 2^{N}}$ для ${\displaystyle N}$ -битного второго дополнения).

Представление отрицательного числа в дополнительном коде

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если значение старшего разряда равно 0, то это значит, что в остальных разрядах записано положительное двоичное число , совпадающее с прямым кодом .

Двоичное 8-разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах, равно ${\displaystyle 2^{7}-1=127}$ .

Примеры:

Дополнительный код в иной системе счисления

Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении любой системы счисления , например, для десятичных чисел .

Преобразования на примере десятичной системы счисления

Положительное число

Изменение значений текущих разрядов числа не производится, но дописывается знаковый старший разряд, значение которого равно 0. Например число [+12'345] будет иметь следующее представление - [012'345]

Отрицательное число

Дописываем знаковый старший разряд, равный большей цифре данной системы счисления , в нашем случае - это 9, а также изменяем остальные разряды по определённому правилу; пусть значение цифры каждого разряда будет представлено переменной ${\displaystyle x}$ , кроме знакового, тогда представим следующий алгоритм действий:

1. Присвоим переменной ${\displaystyle x}$ новое значение, равное выражению ${\displaystyle 9-x}$ (процесс получения обратного кода) - например отрицательное число [ -12345 ] в прямом коде от старшего к младшему разряду будет иметь вид [9' 12345 ], где ${\displaystyle 9}$ - знаковая цифра, а в обратном представлении кода будет иметь следующий вид - [9'87654].
2. К результирующему числу прибавим ${\displaystyle 1}$ , так число [9'87654] (первое дополнение) будет иметь вид [987'655] (доп. код).
3. Если возникла ситуация переноса разряда, в результате которого образовался новый разряд, то его (старший разряд) опускаем, а результирующее число считаем положительным. Результирующее положительное число будет одинаково представлено, как в прямом, так и в дополнительном коде. Например, имея возможность представить в таком виде отрицательный и положительный нуль, разберём их перевод в дополнительный код (1 знаковый и 4 дополнительных разряда):
   • [+0] в прямом коде [0'0000]. Первое и второе дополнения равны [0'0000].
   • [-0] в прямом коде [9'0000]. Первое дополнение - [9'9999]. При получении второго дополнения старший разряд числа [(1)0'0000] опускаем и получаем результирующее значение [0'0000], как у числа [+0].

Идея представления десятичного (как и любого другого) числа в дополнительном коде, идентична правилам для двоичной системы счисления и может использоваться в гипотетическом процессоре:

Арифметика в дополнительном коде

Сложение и вычитание

Оба числа представляются в дополнительном коде. Дополнительный код обоих чисел имеет одинаковое количество разрядов. В данном представлении числа складываются.

Знаки разные: Если в процессе сложения образуется выходящий за пределы первоначальных чисел разряд, то он опускается. Результирующее значение считается положительным , где прямой и дополнительный коды являются идентичными. Иначе — отрицательным в виде дополнительного кода .

Например:

• [1234] + [-78] → [0’1234] + [9’9922] = [(1)0’1156] = [1156].
• [-1234] + [78] → [9’8766] + [0’0078] = [9’8844] = [-1156].

Знаки одинаковые:

• Положительные числа. Разряд не опускается, результат положительный.
• Отрицательные числа. Разряд опускается, результат отрицательный в дополнительном коде.

Например:

• [1234] + [78] → [0’1234] + [0’0078] = [0’1312] = [1312].
• [-1234] + [-78] → [9’8766] + [9’9922] = [(1)9’8688] → (первое дополнение) [0’1311] → (второе дополнение или обычное представление) [-1312]. При переводе из дополнительного кода в обычное представление результирующее значение является абсолютным.

Преобразование в дополнительный код

Из прямого в дополнительный код

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

1. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 0, то число положительное и никаких преобразований не делается;
2. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 1, то число отрицательное, все разряды числа, кроме знакового, инвертируются , а к результату прибавляется 1.

Для примера преобразуем отрицательное число ${\displaystyle -5}$ , записанное в прямом коде, в дополнительный код.

Прямой код отрицательного числа ${\displaystyle -5}$ :
1000 0101

• Инвертируем все разряды числа, кроме знакового, получая таким образом обратный код (первое дополнение) отрицательного числа ${\displaystyle -5}$ :
  1111 1010
• Добавим к результату ${\displaystyle 1}$ , получая таким образом дополнительный код (второе дополнение) отрицательного числа ${\displaystyle -5}$ :
  1111 1011

Изменение знака числа

Для преобразования отрицательного числа ${\displaystyle -5}$ , записанного в дополнительном коде, в положительное число ${\displaystyle 5}$ , записанное в прямом коде, используется похожий алгоритм:

• Инвертируем все разряды отрицательного числа ${\displaystyle -5}$ , получая таким образом положительное число 4 в прямом коде:
  0000 0100
• Добавив к результату ${\displaystyle 1}$ получим положительное число ${\displaystyle 5}$ в прямом коде:
  0000 0101

И проверим, сложив получившееся записи ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle -5}$ :
0000 0101 + 1111 1011 = 0000 0000 (пятый и старше разряды выбрасываются)

p-адические числа

В системе p -адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ричная система счисления, то число, противоположное 0001 ₅ (1 ₁₀ ), равно 4444 ₅ (−1 ₁₀ ).

Реализация алгоритма нахождения модуля для дополнительного кода

Pascal

function TwosComplAbs(a: integer): integer;
begin
    if (a < 0) then TwosComplAbs := (not a) + 1
    else TwosComplAbs := a;
end;

C/C++

int twos_compl_abs(int a) {
    if (a < 0) a = (~a) + 1;
    return a;
}

Реализация без ветвления

С помощью следующей формулы можно вычислить модуль числа без ветвления :

${\displaystyle |a|=(a\ {\text{xor}}\ (a\ {\text{shr}}\ (n-1)))-(a\ {\text{shr}}\ (n-1))}$ ,

где: ${\displaystyle {\text{xor}}}$ — Операция исключающего "или" ;
${\displaystyle {\text{shr}}}$ — Арифметический сдвиг вправо;
${\displaystyle n}$ — Количество двоичных разрядов

Следующий код на языке Си вычисляет модуль по этой формуле:

int32_t fastabs32(int32_t num)
{
    int32_t mask = (num >> 31);
    return ((num ^ mask) - mask);
}

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Общие инструкции (процессора) для сложения, вычитания и левого сдвига для знаковых и беззнаковых чисел (различия только в арифметических флагах, которые нужно проверять для контроля переполнения в результате).
• Отсутствие числа « минус ноль ».

Недостатки

• Представление отрицательного числа визуально не читается по обычным правилам, для его восприятия нужен особый навык или дополнительные вычисления для приведения в обычный вид.
• В некоторых представлениях (например, двоично-десятичный код ) или их составных частях (например, мантисса числа с плавающей запятой ) дополнительное кодирование неудобно.
• Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Например, для восьмибитного целого со знаком, максимальное число: 127 ₁₀ = 01111111 ₂ , минимальное число: -128 ₁₀ = 10000000 ₂ . Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака может потребовать дополнительной проверки.

Пример программного преобразования

Если происходит чтение данных из файла или области памяти, где они хранятся в двоичном дополнительном коде (например, WAV файл ), может оказаться необходимым преобразовать байты. Если данные хранятся в 8 битах, необходимо, чтобы значения 128-255 были отрицательными.

C# .NET / C style

byte b1 = 254; //11111110 (бинарное)
byte b2 = 121; //01111001 (бинарное)
byte c = 1<<(sizeof(byte)*8-1);  //2 возводится в степень 7. Результат: 10000000 (бинарное)
byte b1Conversion=(c ^ b1) - c;  //Результат: -2. А фактически, двоичный дополнительный код.
byte b2Conversion=(c ^ b2) - c;  //Результат остаётся 121, потому что знаковый разряд - ноль.

Расширение знака

Расширение знака ( англ. sign extension ) — операция над двоичным числом, которая позволяет увеличить разрядность числа с сохранением знака и значения. Выполняется добавлением цифр со стороны старшего значащего разряда. Если число положительное (старший разряд равен 0), то добавляются нули, если отрицательное (старший разряд равен 1) — единицы.

Пример

Примечание : Добавленные цифры подчёркнуты

См. также

• Обратный код
• Прямой код
• Целый тип
• Алгоритм Бута — специализированный алгоритм умножения для чисел в дополнительном коде

Литература

• Behrooz Parhami. 2.3. Complement Representation, 2.4. Two's- and 1's-complement numbers // . — New York: Oxford University Press, 2000. — P. 22-27. — 510 p. — ISBN 0-19-512583-5 .
• Самофалов К.Г., Романкевич А.М., Валуйский В.Н., Каневский Ю.С., Пиневич М.М. Прикладная теория цифровых автоматов. — К. : Вища школа, 1987. — 375 с.

Примечания