Interested Article - Собственные элементы орбиты

Собственные ( свободные ) элементы орбиты — параметры, характеризующие орбиту небесного тела при его движении под воздействием возмущений . Собственные элементы практически не меняются со временем, в отличие от оскулирующих элементов , которые непостоянны и в каждый момент времени определяются как обычные элементы орбиты в предположении, что возмущения отсутствуют. Таким образом, собственные элементы являются непосредственными характеристиками орбиты тела, не изменёнными внешними факторами.

Описание

Распределение разности между оскулирующим и собственным эксцентриситетом (вверху) и наклоном орбиты (внизу) для астероидов с большой полуосью орбиты 2—4 а.е.

Оскулирующие элементы

В задаче двух тел орбита небесного тела имеет вид конического сечения , а форма орбиты , её положение в пространстве и положение тела на ней однозначно описывается шестью параметрами, которые называются элементами орбиты . Один из возможных наборов элементов, который будет использоваться далее — большая полуось , эксцентриситет , наклонение , долгота восходящего узла , и средняя долгота .

Однако при наличии более чем двух тел в системе взаимодействие между ними приводит к тому, что орбиты тел уже не описываются таким способом. На практике, например, в Солнечной системе орбиты планет не слишком отличаются от конических сечений, и их можно описать обычными элементами орбиты, однако в этом случае они меняются со временем. Для каждого момента времени элементы орбиты, которые бы точно описывали движение тела, если бы в этот момент все возмущения исчезли, называются оскулирующими элементами орбиты .

Возмущающая функция

представляет собой потенциал гравитационного взаимодействия с другими телами системы, кроме центрального . От неё зависит изменение оскулирующих элементов со временем: эта связь выражается посредством .

Для оценки того, как изменяются элементы орбиты со временем, можно представить систему с массивным центральным телом и двумя телами значительно меньшей массы. Тогда можно рассмотреть, как будет двигаться тело пренебрежимо малой массы — пробная частица — в поле тяготения центрального тела, с учётом возмущений от двух других тел. Возмущающую функцию для пробной частицы можно приближённо выразить через элементы орбит :

где — среднее движение (средняя угловая скорость движения по орбите) , элементы орбиты без индексов относятся к пробной частице, с индексами — к возмущающим телам. Значения приведены ниже :

В данных формулах — массы, соответственно, возмущающего тела с индексом и центрального тела. — коэффициенты Лапласа, определяемые следующим образом :

Символы означают :

Далее производится переход от элементов орбиты к следующим коэффициентам, поскольку в них планетные уравнения Лагранжа записываются более удобным образом :

Аналогичным образом определяются коэффициенты для возмущающих тел. Тогда выражение для записываются в следующем виде :

Планетные уравнения Лагранжа в коэффициентах записываются как :

где точка над символом означает производную по времени. Величины определяются при анализе движения возмущающих тел под воздействием центрального тела и другого возмущающего тела, и с учётом этого система дифференциальных уравнений имеет решение :

Здесь — время, а константы , которые зависят из начальных условий. — величины, зависящие от параметров орбиты возмущающих тел, а также от большой полуоси орбиты пробной частицы, но не от других элементов орбиты. Последние четыре параметра меняются со временем. Такие же по форме решения получаются и при рассмотрении большего количества возмущающих тел .

Собственные элементы

Полученные решения имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого вводятся следующие величины :

Сначала можно рассмотреть отдельно решение . Из определения данных величин следует, что точка на плоскости имеет радиус-вектор, по модулю равный и образует угол с осью . С учётом вида этого решения можно представить его как сумму двух векторов: первый соединяет начало координат с точкой , имеет модуль и образует угол, который можно назвать , с осью . Второй вектор соединяет точки с , имеет модуль и составляет угол с осью .

Таким образом, изменение оскулирующих элементов орбиты частицы можно представить как движение в плоскости . В этих координатах частица равномерно движется по окружности с радиусом вокруг точки , которая, в свою очередь, перемещается сложным образом. Аналогичные рассуждения и выводы можно получить для решения . Значения называются собственными (или свободными) элементами орбиты, которые практически не изменяются со временем и их можно считать фундаментальными свойствами орбиты частицы. Значения называют вынужденными элементами — они меняются со временем и зависят от возмущений .

Проведённый выше анализ не показывает различий между оскулирующей и собственной большую полуосью орбиты, поскольку в нём не принимались во внимание короткопериодические возмущения, однако только такие возмущения влияют на большую полуось. Поскольку на длительных промежутках времени вклад короткопериодических возмущений «усредняется» и сводится к нулю, большая полуось не демонстрирует долговременных изменений .

Собственные элементы являются квази-интегралами движения и остаются неизменными в течение очень длительного времени. Они отражают некоторым образом «усреднённые» по времени характеристики движения небесного тела, в которых исключено влияние коротко- и долгопериодических возмущений .

Существуют различные способы вычисления собственных элементов на основе наблюдаемых величин. В общих чертах для этого сначала составляется модель сил, действующих на исследуемое тело, производится усреднение элементов орбиты по времени, чтобы избавиться от влияния короткопериодических возмущений, а затем производится вычисление остальных возмущений и вычитание вынужденных элементов из оскулирующих .

Собственные элементы широко используются для изучения, например, динамики пояса астероидов , а также для разделения астероидов на семейства (см. ниже ) . В следующей таблице представлены собственные и оскулирующие элементы Цереры на эпоху MJD 59800,0 (9 августа 2022 года) :

Элементы орбиты Цереры
, а.е. , °
Собственные 2,7612 0,115 9,660
Оскулирующие 2,7666 0,0786 10,587

Семейства Хираямы

Диаграммы, показывающие соотношение между оскулирующими (слева) и собственными (справа) эксцентриситетом и наклоном орбиты астероидов. Для собственных элементов хорошо видны скучивания — семейства Хираямы

В 1918 году Киёцугу Хираяма построил диаграммы ( , ) и ( , ) для известных астероидов и обнаружил, что в некоторых областях на диаграмме наблюдается скучивание. Первоначально Хираяма строил диаграммы для оскулирующих элементов, но впоследствии использовал собственные элементы, на которых скучивание было заметно более явно .

Таким способом было выделено множество семейств, например, семейства Фемиды , Эос , Корониды , Марии . Считается, что семейства астероидов возникают при полном или частичном разрушении «родительского» астероида в результате столкновения: фрагменты приобретают небольшую относительную скорость по сравнению со скоростью движения по орбите, и остаются близко друг к другу в фазовом пространстве собственных элементов орбиты на протяжении длительного времени .

Примечания

Комментарии

  1. Для последних двух величин верны выражения и , где аргумент перицентра , средняя аномалия .
  2. В более общем смысле возмущающей функцией можно также описывать все элементы гравитационного потенциала сверх того, который возникает в модели точечного или сферически симметричного центрального тела. Например, если центральное тело имеет сплюснутую форму, то вызванные этим отличия потенциала также можно описывать возмущающей функцией .
  3. В данной формуле не рассматриваются члены, включающие в себя среднюю долготу. Данная величина изменяется быстро — со скоростью движения объектов по орбите, и на длительных промежутках времени вклад связанных с ней возмущений «усредняется» и сводится к нулю .
  4. Значения меняются со временем, но равномерно, поэтому для полного описания системы достаточно добавить величины, описывающие скорость изменения этих элементов — частоты, соответственно, и .

Источники

  1. , с. 52, 67.
  2. , с. 64—66.
  3. , pp. 126—128.
  4. , с. 241.
  5. , с. 277.
  6. , с. 70—72.
  7. , с. 238—240, 277.
  8. , с. 263—265.
  9. , с. 261—263, 265, 272.
  10. , с. 287, 295.
  11. , с. 48.
  12. , с. 296.
  13. , с. 248, 296.
  14. , с. 289—290, 296.
  15. , с. 296—297.
  16. , с. 297.
  17. , с. 297—298, 318.
  18. , с. 298.
  19. Knezevic Z., Lemaître A., Milani A. . — 2002-03-01. 12 августа 2017 года.
  20. , с. 295—300, 320.
  21. , с. 261—263, 265—272.
  22. Knežević Z., Milani A. (англ.) // Symposium - International Astronomical Union. — 1994/ed. — Vol. 160 . — P. 143–158 . — ISSN . — doi : . 1 ноября 2022 года.
  23. Knežević Z. // Serbian Astronomical Journal. — 2017-12-01. — Т. 194 . — С. 1–8 . — doi : . 2 ноября 2022 года.
  24. . AstDyS . Дата обращения: 1 ноября 2022. 26 июля 2020 года.
  25. . AstDyS . Дата обращения: 1 ноября 2022. 21 ноября 2011 года.
  26. , с. 320.

Литература

  • Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы / пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. — М. : Физматлит, 2010. — 588 с. — ISBN 978-5-9221-1121-8 .
  • Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — 2-е изд., испр. — М. : УРСС , 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2 .
  • Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. . — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg; N. Y. : Springer , 2016. — 550 p. — ISBN 978-3-662-53045-0 .
Источник —

Same as Собственные элементы орбиты