Собственные
(
свободные
)
элементы орбиты
— параметры, характеризующие
орбиту
небесного тела
при его движении под воздействием
возмущений
. Собственные элементы практически не меняются со временем, в отличие от
оскулирующих элементов
, которые непостоянны и в каждый момент времени определяются как обычные
элементы орбиты
в предположении, что возмущения отсутствуют. Таким образом, собственные элементы являются непосредственными характеристиками орбиты тела, не изменёнными внешними факторами.
Однако при наличии более чем двух тел в системе взаимодействие между ними приводит к тому, что орбиты тел уже не описываются таким способом. На практике, например, в
Солнечной системе
орбиты планет не слишком отличаются от конических сечений, и их можно описать обычными элементами орбиты, однако в этом случае они меняются со временем. Для каждого момента времени элементы орбиты, которые бы точно описывали движение тела, если бы в этот момент все возмущения исчезли, называются
оскулирующими элементами орбиты
.
Возмущающая функция
представляет собой
потенциал гравитационного взаимодействия
с другими телами системы, кроме центрального
. От неё зависит изменение оскулирующих элементов со временем: эта связь выражается посредством
.
Для оценки того, как изменяются элементы орбиты со временем, можно представить систему с массивным центральным телом и двумя телами значительно меньшей массы. Тогда можно рассмотреть, как будет двигаться тело пренебрежимо малой массы — пробная частица — в поле тяготения центрального тела, с учётом возмущений от двух других тел. Возмущающую функцию для пробной частицы можно приближённо выразить через элементы орбит
:
где
— среднее движение (средняя угловая скорость движения по орбите)
, элементы орбиты без индексов относятся к пробной частице, с индексами — к возмущающим телам. Значения
приведены ниже
:
В данных формулах
— массы, соответственно, возмущающего тела с индексом
и центрального тела.
— коэффициенты Лапласа, определяемые следующим образом
:
Символы
означают
:
Далее производится переход от элементов орбиты к следующим коэффициентам, поскольку в них планетные уравнения Лагранжа записываются более удобным образом
:
Аналогичным образом определяются коэффициенты
для возмущающих тел. Тогда выражение для
записываются в следующем виде
:
Планетные уравнения Лагранжа в коэффициентах
записываются как
:
где точка над символом означает
производную
по времени. Величины
определяются при анализе движения возмущающих тел под воздействием центрального тела и другого возмущающего тела, и с учётом этого система дифференциальных уравнений имеет решение
:
Здесь
— время, а
—
константы
, которые зависят из начальных условий.
— величины, зависящие от параметров орбиты возмущающих тел, а также от большой полуоси орбиты пробной частицы, но не от других элементов орбиты. Последние четыре параметра меняются со временем. Такие же по форме решения получаются и при рассмотрении большего количества возмущающих тел
.
Собственные элементы
Полученные решения имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого вводятся следующие величины
:
Сначала можно рассмотреть отдельно решение
. Из определения данных величин следует, что точка на плоскости
имеет радиус-вектор, по модулю равный
и образует угол
с осью
. С учётом вида этого решения можно представить его как сумму двух векторов: первый соединяет начало координат с точкой
, имеет модуль
и образует угол, который можно назвать
, с осью
. Второй вектор соединяет точки
с
, имеет модуль
и составляет угол
с осью
.
Таким образом, изменение оскулирующих элементов орбиты частицы можно представить как движение в плоскости
. В этих координатах частица равномерно движется по окружности с радиусом
вокруг точки
, которая, в свою очередь, перемещается сложным образом. Аналогичные рассуждения и выводы можно получить для решения
. Значения
называются собственными (или свободными) элементами орбиты, которые практически не изменяются со временем
и их можно считать фундаментальными свойствами орбиты частицы. Значения
называют вынужденными элементами — они меняются со временем и зависят от возмущений
.
Проведённый выше анализ не показывает различий между оскулирующей и собственной
большую полуосью
орбиты, поскольку в нём не принимались во внимание короткопериодические возмущения, однако только такие возмущения влияют на большую полуось. Поскольку на длительных промежутках времени вклад короткопериодических возмущений «усредняется» и сводится к нулю, большая полуось не демонстрирует долговременных изменений
.
Собственные элементы являются
квази-интегралами движения
и остаются неизменными в течение очень длительного времени. Они отражают некоторым образом «усреднённые» по времени характеристики движения небесного тела, в которых исключено влияние коротко- и долгопериодических возмущений
.
Существуют различные способы вычисления собственных элементов на основе наблюдаемых величин. В общих чертах для этого сначала составляется модель сил, действующих на исследуемое тело, производится усреднение элементов орбиты по времени, чтобы избавиться от влияния короткопериодических возмущений, а затем производится вычисление остальных возмущений и вычитание вынужденных элементов из оскулирующих
.
Собственные элементы широко используются для изучения, например, динамики
пояса астероидов
, а также для разделения астероидов на семейства (см. ниже
)
. В следующей таблице представлены собственные и оскулирующие элементы
Цереры
на
эпоху
MJD
59800,0 (9 августа 2022 года)
:
В 1918 году
Киёцугу Хираяма
построил диаграммы (
,
) и (
,
) для известных астероидов и обнаружил, что в некоторых областях на диаграмме наблюдается скучивание. Первоначально Хираяма строил диаграммы для оскулирующих элементов, но впоследствии использовал собственные элементы, на которых скучивание было заметно более явно
.
Таким способом было выделено множество семейств, например,
семейства Фемиды
,
Эос
,
Корониды
,
Марии
. Считается, что семейства астероидов возникают при полном или частичном разрушении «родительского» астероида в результате столкновения: фрагменты приобретают небольшую относительную скорость по сравнению со скоростью движения по орбите, и остаются близко друг к другу в
фазовом пространстве
собственных элементов орбиты на протяжении длительного времени
.
В более общем смысле возмущающей функцией можно также описывать все элементы гравитационного потенциала сверх того, который возникает в модели точечного или сферически симметричного центрального тела. Например, если центральное тело имеет сплюснутую форму, то вызванные этим отличия потенциала также можно описывать возмущающей функцией
.
В данной формуле не рассматриваются члены, включающие в себя среднюю долготу. Данная величина изменяется быстро — со скоростью движения объектов по орбите, и на длительных промежутках времени вклад связанных с ней возмущений «усредняется» и сводится к нулю
.
Значения
меняются со временем, но равномерно, поэтому для полного описания системы достаточно добавить величины, описывающие скорость изменения этих элементов — частоты, соответственно,
и
.
Источники
, с. 52, 67.
, с. 64—66.
↑
, pp. 126—128.
, с. 241.
, с. 277.
, с. 70—72.
, с. 238—240, 277.
, с. 263—265.
, с. 261—263, 265, 272.
, с. 287, 295.
, с. 48.
↑
, с. 296.
, с. 248, 296.
, с. 289—290, 296.
, с. 296—297.
, с. 297.
, с. 297—298, 318.
↑
, с. 298.
↑
Knezevic Z., Lemaître A., Milani A.
. — 2002-03-01.
12 августа 2017 года.
, с. 295—300, 320.
, с. 261—263, 265—272.
↑
Knežević Z., Milani A.
(англ.)
// Symposium - International Astronomical Union. — 1994/ed. —
Vol. 160
. —
P. 143–158
. —
ISSN
. —
doi
:
.
1 ноября 2022 года.
↑
Knežević Z.
// Serbian Astronomical Journal. — 2017-12-01. —
Т. 194
. —
С. 1–8
. —
doi
:
.
2 ноября 2022 года.
(неопр.)
.
AstDyS
. Дата обращения: 1 ноября 2022.
26 июля 2020 года.
(неопр.)
.
AstDyS
. Дата обращения: 1 ноября 2022.
21 ноября 2011 года.
, с. 320.
Литература
Мюррей К., Дермотт С.
Динамика Солнечной системы / пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. —
М.
: Физматлит, 2010. — 588 с. —
ISBN 978-5-9221-1121-8
.
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J.
. — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg;
N. Y.
:
Springer
, 2016. — 550 p. —
ISBN 978-3-662-53045-0
.