Трюк Даны Скотта — трюк, позволяющий факторизовать собственный класс в теории множеств Цермело — Френкеля . При помощи него в ZF можно определить изоморфный тип , в частности мощность множества . Возможность применения трюка Даны Скотта существенно зависит от аксиомы регулярности .

Суть

Пусть ${\displaystyle A}$ — некоторый непустой класс, на котором задано отношение-класс эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ . Требуется построить в некотором смысле факторкласс, то есть такой класс ${\displaystyle A/\sim }$ , каждому элементу которого будет взаимно однозначно соответствовать класс эквивалентности ${\displaystyle A}$ по ${\displaystyle \sim }$ .

Взять и просто определить ${\displaystyle A/\sim }$ как совокупность всех классов эквивалентности ${\displaystyle A}$ по ${\displaystyle \sim }$ не получится — какие-то из классов эквивалентности могут оказаться собственными, а собственные классы не могут быть элементами других классов. Поэтому для определения такой конструкции приходится искать обходные пути. Один из таких путей был предложен Даной Скоттом.

Как известно, в ZF все множества полностью описываются иерархией фон Неймана , то есть каждое множество имеет ранг (эта часть полагается на аксиому регулярности). Если в некотором классе взять подкласс всех элементов какого-то определённого ранга — этот подкласс будет множеством. Это следует из двух простых фактов: того, что класс всех множеств определённого ранга образует множество, и того, что пересечение класса и множества — это множество. Такой подкласс (если он непуст) однозначно задаёт класс эквивалентности. В свою очередь если потребовать минимальность ранга, при котором подкласс будет непуст, то такой подкласс будет однозначно задаваться классом эквивалентности. В этом и состоит суть трюка Даны Скотта: замена полного класса эквивалентности его подмножеством, состоящим из элементов, имеющих минимальный ранг.

Более формально, введём обозначение для произвольного непустого класса ${\displaystyle B}$ обозначение: ${\displaystyle \operatorname {minrk} B=\min \limits _{b\in B}\operatorname {rk} b}$ . Тогда

Классом эквивалентности Даны Скотта элемента ${\displaystyle a\in A}$ по отношению ${\displaystyle \sim }$ назовём множество ${\displaystyle [a]=\{x\in a/\sim |\operatorname {rk} x=\operatorname {minrk} a/\sim \}}$ (здесь ${\displaystyle a/\sim }$ обозначает обычный класс эквивалентности);

Факторклассом Даны Скотта класса ${\displaystyle A}$ по отношению ${\displaystyle \sim }$ назовём класс ${\displaystyle A/\sim =\{[x]|x\in A\}}$ .

Такое определение удовлетворяет требованию, что каждому элементу факторкласса взаимно однозначно соответствует обычный класс эквивалентности.

Использование

Мощность множества

Основное применение трюка Даны Скотта — определение мощности множества в ZF . Пусть ${\displaystyle A}$ — класс всех множеств, ${\displaystyle \sim }$ — отношение-класс равномощности. Тогда мощность множества ${\displaystyle a\in A}$ — это его класс эквивалентности Даны Скотта по отношению равномощности:

${\displaystyle |a|=\{x\in a/\sim |\operatorname {rk} x=\operatorname {minrk} a/\sim \}}$ .

При таком определении мощности класс всех кардинальных чисел это факторкласс Даны Скотта ${\displaystyle A/\sim }$ .

Изоморфный тип

Обобщение предыдущего пункта — определение изоморфного типа. Пусть ${\displaystyle A}$ — непустой класс каких-нибудь множеств, на которых определено отношение изоморфности ${\displaystyle \sim }$ (например группы или кольца ). Тогда изоморфный тип ${\displaystyle a\in A}$ — это его класс эквивалентности Даны Скотта по отношению изоморфности:

${\displaystyle \operatorname {iso} a=\{x\in a/\sim |\operatorname {rk} x=\operatorname {minrk} a/\sim \}}$ .

Нетрудно видеть, что это определение есть обобщение определения мощности множеств, так как изоморфность множеств без дополнительной структуры — это их равномощность, а их изоморфный тип — мощность. Более того, определение понятия изоморфного типа позволяет формально говорить о таких вещах как группа с точностью до изоморфизма, кольцо с точностью до изоморфизма и так далее.

См. также

• Фактормножество
• Мощность множества
• Изоморфный тип

Примечания

Литература

• Scott, Dana (1955), (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 61 (5): 442, doi :
• Jech, Thomas. . — Springer, 2003. — ISBN 3-540-44085-2 .
• (англ.) . . Дата обращения: 4 июня 2023.