Лизоркин, Пётр Иванович ( 3 апреля 1922 — 20 сентября 1993 ) — советский математик, профессор, создатель теории пространств Лизоркина — Трибеля . Участник Великой Отечественной войны

Биография

Уроженец села Сасово Елатомского уезда Тамбовской губернии , П. И. Лизоркин детство и юношеские годы прожил в Елатьме на Оке . После окончания средней школы он поступил на физико-математический факультет Воронежского Государственного Университета . Однако в 1940 году с первого курса Пётр Иванович был призван в армию и направлен в Харьковское Военно-авиационное училище . С началом Великой Отечественной войны училище эвакуируется в Красноярск .

Окончив училище в 1942 г. и пройдя дополнительную подготовку в Высшей школе штурманов и при лётном центре Авиации дальнего действия в г. Рыбинске , с 1943 г. П. И. Лизоркин служил на фронте в действующей армии. В качестве штурмана Авиации дальнего действия он сделал 120 успешных боевых вылетов в тыл врага и был награждён тремя орденами .

В мае 1944 года самолёт, в экипаже которого состоял П. И. Лизоркин, был сбит в глубоком тылу врага. Целый год Пётр Иванович провёл в немецких лагерях для военнопленных, затем, будучи освобождённым из плена незадолго до конца войны, прошёл длительную госпроверку и лишь в декабре 1945 года был демобилизован из армии.

В феврале 1946 года П. И. Лизоркин поступил на инженерно-физический факультет Московского Механического института (впоследствии преобразованного в Московский инженерно-физический институт ). П. И. Лизоркин окончил его с отличием в 1951 году по специальности « теоретическая физика » и был рекомендован в аспирантуру по этой специальности; однако работать в этой области не позволили, вспомнили плен, сказался закрытый профиль института .

В 1951—1957 годах П. И. Лизоркин работал преподавателем кафедры высшей математики МИФИ, а в 1958 году поступил в аспирантуру и с этого времени работал в области математики . В 1961 году П. И. Лизоркин защитил кандидатскую диссертацию . В том же году его пригласили на работу в отдел теории функций Математического института АН СССР , где в 1969 году П. И. Лизоркин защитил докторскую диссертацию .

Работая в Математическом институте СССР, П. И. Лизоркин не порывал с педагогической деятельностью. В течение ряда лет он заведовал кафедрой высшей математики МИФИ, был профессором этой кафедры . В эти же годы в МИФИ началась фундаментальная перестройка преподаваемого курса высшей математики , введение в курсы элементов функционального анализа . Учебник П. И. Лизоркина «Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа» отражает опыт МИФИ в этом направлении, сокращая «разрыв между подготовкой выпускника ВУЗа и требованиями, с которыми ему приходится встречаться на практике» .

П. И. Лизоркин был женат на Кузнецовой Валентине Алексеевне, преподавателе МИФИ , у них трое детей.

Научная деятельность

П. И. Лизоркиным получено окончательное решение задачи о естественном расширении пространств С. Л. Соболева на дробные индексы дифференцирования. Им было введено понятие обобщённой лиувиллевской производной и на его основе определены анизотропные классы бесселевых потенциалов Дальнейшее развитие этих работ привело к построению шкал пространств, известных в литературе как пространства Лизоркина-Трибеля. Петром Ивановичем была развита теория Фурье-мультипликаторов , обобщающая и дополняющая результаты Ю. Марцинкевича и С. Г. Михлина .

Большой цикл совместных работ С. М. Никольского и П. И. Лизоркина по теории краевых задач для эллиптических операторов с сильным вырождением на всей границе области сильно продвинул этот раздел теории дифференциальных уравнений . Они обнаружили, что корректная постановка задачи Дирихле для оператора порядка ${\displaystyle 2r}$ требует задания на границе области не ${\displaystyle r}$ условий, а меньшего их числа в зависимости от показателя вырождения оператора, разработали вариационные методы исследования первой краевой задачи, изучили свойства гладкости решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнения.

В последние годы жизни П. И. Лизоркин занимался теорией приближений на однородных многообразиях .

Пространства Лизоркина-Трибеля

Пространства, получившие в научной среде название пространств Лизоркина-Трибеля , были введены П. И. Лизоркиным и затем более детально исследованы немецким математиком Хансом Трибелем .

Обозначим ${\displaystyle S(R^{n})}$ - пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на ${\displaystyle R^{n}}$ . Рассматривается совокупность ${\displaystyle \Sigma (R^{n})}$ всех систем функций ${\displaystyle \sigma =\{\sigma _{j}(x)\}_{j=0}^{\infty }\subset S(R^{n})}$ , таких что :

1. Носители функций из системы ${\displaystyle \sigma }$ являются подмножествами следующих множеств: ${\displaystyle \mathrm {supp} \ \sigma _{0}\subset \{x\in R^{n}|\left|x\right|\leq 2\}}$ , ${\displaystyle \mathrm {supp} \ \sigma _{j}\subset \{x\in R^{n}|2^{j-1}\leq \left|x\right|\leq 2^{j+1}\}}$ , ${\displaystyle j=1,2,3,\ldots }$ ;
2. Для каждого мультииндекса ${\displaystyle \alpha }$ существует положительное число ${\displaystyle c_{\alpha }}$ , при котором ${\displaystyle 2^{j\left|\alpha \right|}\left|D^{\alpha }\sigma _{j}(x)\right|\leq c_{\alpha }}$ для всех ${\displaystyle j=1,2,3,\ldots }$ и всех ${\displaystyle x\in R^{n}}$ , где ${\displaystyle \left|\alpha \right|=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}$ ;
3. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\sigma _{j}(x)=1}$ для каждого ${\displaystyle x\in R^{n}}$ .

Пространства Лизоркина–Трибеля ${\displaystyle F_{p,q}^{s}(R^{n})}$ определяются для ${\displaystyle 0<p<\infty }$ следующим образом:

${\displaystyle F_{p,q}^{s}(R^{n})=\left\{f\in S'(R^{n})\mid \left\|f|F_{p,q}^{s}(R^{n})\right\|=\left(\int _{R^{n}}\left(\sum _{j=0}^{\infty }\left|2^{sj}F^{-1}\sigma _{j}Ff(x)\right|^{q}\right)^{\frac {p}{q}}dx\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \right\}}$ .

Здесь для краткости ${\displaystyle D^{\alpha }}$ обозначает оператор дифференцирования, берущий для всех ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ частную ${\displaystyle \alpha _{i}}$ -ю производную по ${\displaystyle x_{i}}$ ; ${\displaystyle F}$ - оператор преобразования Фурье ; а символом ${\displaystyle S'(R^{n})}$ обозначается множество всех умеренных распределений на ${\displaystyle R^{n}}$ .

Принадлежность функции пространству Лизоркина-Трибеля означает представимость её в виде суммы атомарных функций, т.е. функций заданной гладкости с некоторым числом нулевых моментов , чьи преобразования Фурье также имеют фиксированную гладкость.

Теоремы, сформулированные П. И. Лизоркиным и Х. Трибелем, гарантировали существование разложения функции через атомарные функции, хотя и без описания способа его получения .

Области применения

Появление базисов ${\displaystyle \{\sigma _{j}(x)\}}$ , по которым можно производить разложения функций, привело к существенному прогрессу в теории функциональных пространств. Базисы нашли широкое распространение от чисто математических проблем описания функциональных пространств до сугубо прикладных проблем цифровой обработки сигналов и изображений . Базисы всплесков находят всё большие применения в физике , астрономии , геофизике , медицине и других областях знаний. Причина такой популярности состоит в том, что всплески являются идеальным инструментом для адекватного представления нестационарных сигналов как с точки зрения глубинных свойств, важных в теории, так и с точки зрения существования для них экономичных .

Примечания

Ссылки

• (неопр.) . mathnet.ru. Дата обращения: 22 октября 2013.