Точка Понселе — предмет следующей теоремы :

Для любой четверки точек ${\displaystyle A,B,C,D}$ , отличной от ортоцентрической , окружности девяти точек треугольников ${\displaystyle ABC}$ , ${\displaystyle BCD}$ , ${\displaystyle ABD}$ , ${\displaystyle ACD}$ пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе .

Замечание

• В теореме Понселе выше речь идет о системе 4 точек, не являющихся так называемой ортоцентрической системой 4 точек.
• Если в четвёрке точек ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ точка ${\displaystyle D}$ является точкой пересечения высот треугольника ${\displaystyle ABC}$ , то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек . Другие свойства ортоцентрической системы точек см. в статье ортоцентр .
• В определении выше для точки Понселе можно отказаться от упоминания ортоцентрической системы точек , если, например, заменить его системой 4 точек, образующих вершины выпуклого невырожденного четырехугольника, которые автоматически никогда не образуют ортоцентрическую систему точек .
• Кстати, если в определении выше для точки Понселе система 4 точек все-таки окажется ортоцентрической , то точка Понселе станет просто окружностью Эйлера (бесконечным множеством точек), общей для ортоцентрической системы точек .

Свойства точки Понселе

Если ${\displaystyle H}$ — ортоцентр треугольника ${\displaystyle ABC}$ , то точки Понселе для четвёрок точек ${\displaystyle ABCD}$ , ${\displaystyle ABHD}$ , ${\displaystyle AHCD}$ , ${\displaystyle HBCD}$ совпадают.

Точка Понселе четвёрки точек ${\displaystyle ABCD}$ лежит на педальной окружности точки ${\displaystyle D}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$ , то есть на описанной окружности подерного треугольника точки ${\displaystyle D}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Точка Понселе четвёрки точек ${\displaystyle ABCD}$ является центром равнобокой гиперболы , проходящей через точки ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ .

Точка Понселе четвёрки точек ${\displaystyle ABCD}$ лежит на чевианной окружности точки ${\displaystyle D}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$ , то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника ${\displaystyle ABC}$ , проходящих через точку ${\displaystyle D}$ .

Точка Понселе четвёрки ${\displaystyle ABCD}$ является серединой отрезка, соединяющего точки ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle D'}$ , где ${\displaystyle D'}$ - образ точки ${\displaystyle D}$ при относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$

Точки Понселе четвёрок ${\displaystyle ABCD}$ и ${\displaystyle ABCD'}$ совпадают.

Замечание

• - тоже что и анти изогональное сопряжение.

Литература

• Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4 .
• Vonk, Jan (2009), (PDF) , Forum Geometricorum , 9 : 47—55

См. также

• Точка Микеля

Примечания