Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений ( модель Даймонда , модель Самуэльсона — Даймонда , англ. overlapping generations model ) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции . Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике . В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.

История создания

В первых моделях экономического роста ( модель Солоу , модель Харрода — Домара ) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений » и «темп научно-технического прогресса », от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя . Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит . Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал , где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию) . В декабре 1965 года Питер Даймонд , также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале (англ.) ( , в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколений , также известную как модель Даймонда , модель Самуэльсона — Даймонда .

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика . Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции . Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$ , используемый как для потребления ${\displaystyle C}$ , так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции ) ${\displaystyle I}$ . Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$ , роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия оборудования (капитала) ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно . Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время ${\displaystyle t}$ изменяется дискретно . Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам .

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям: ${\displaystyle S=I}$ , ${\displaystyle Y=C+I}$ .

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам :

1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду ): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=(1+g)E_{t-1},g=const}$ .
2. в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$ , она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$ .
3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$ .
4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады , а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$ .
5. для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$ .

Население ${\displaystyle L_{t}}$ растёт с постоянным темпом ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle L_{t}=(1+n)L_{t-1},n=const}$ . В каждом периоде ${\displaystyle t}$ живёт ${\displaystyle L_{t}}$ молодых и ${\displaystyle L_{t-1}}$ пожилых индивидов. Совокупное потребление ${\displaystyle C}$ равно :

${\displaystyle C_{t}=c_{1t}L_{t}+c_{2t}L_{t-1}}$ ,

где ${\displaystyle c_{1t}L_{t}}$ — потребление работающего поколения, ${\displaystyle c_{2t}L_{t-1}}$ — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда ( предложение труда неэластично ) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией :

${\displaystyle U_{t}={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {1}{1+\rho }}\times {\frac {c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$ ,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$ , ${\displaystyle \theta =const}$ , ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$ , ${\displaystyle \rho =const}$ .

Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0}$ .

Вначале весь капитал ${\displaystyle K_{0}}$ находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде :

${\displaystyle S_{t}=s_{t}L_{t}=I_{t}=K_{t+1}}$ ,

где ${\displaystyle s_{t}}$ — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}}$ , капитал на единицу эффективного труда ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$ .

Задача потребителя

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле :

${\displaystyle c_{1t}+{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=w_{t}E_{t}}$ .

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

${\displaystyle U_{t}\rightarrow max}$

при условии:

${\displaystyle w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0}$ ,

где ${\displaystyle w_{t}}$ — реальная заработная плата в периоде ${\displaystyle t}$ .

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум .

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}}$ для периода ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\frac {{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}}$ .

Задача фирмы

Фирма максимизирует свою прибыль ${\displaystyle \pi }$ . Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией :

${\displaystyle y_{t}=f({\hat {k}}_{t})}$ , где ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}E_{t}}}}$ .

Задача фирмы выглядит следующим образом:

${\displaystyle \pi =F(K_{t},L_{t})-r_{t}K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд ( заработная плата ) ${\displaystyle w}$ и плата за капитал ${\displaystyle r}$ ( процентная ставка ) равны соответствующим предельным производительностям :

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})}$ ,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}+\delta =f'({\hat {k}}_{t})}$ .

Общее экономическое равновесие

По предпосылкам модели: ${\displaystyle K_{t+1}=s_{t}L_{t}}$ . Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем :

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\frac {1}{(1+n)(1+g)}}\times {\frac {(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}\times (f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t}))}$ .

Поскольку ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке ( ${\displaystyle s_{t}'(r_{t})>0}$ ), то это равновесие является единственным.

Если обозначить ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})={\frac {s_{t}}{E_{t}}}}$ , где ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})}$ — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде ${\displaystyle t}$ , то уравнение примет вид :

${\displaystyle (1+n)(1+g){\hat {k}}_{t+1}=s{\bigl (}[f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat {k}}_{1})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})]{\bigr )}}$ .

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости :

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}={\frac {-s'_{w}{\hat {k}}_{t}f''({\hat {k}}_{t})}{(1+n)(1+g)-s'_{r}f''({\hat {k}}_{t+1})}}}$ .

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$ ), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ и ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\hat {k}}_{t}}$ ), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$ ), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми .

Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа . В этом случае ${\displaystyle \theta =0}$ , а полезность трат для индивида описывается функцией :

${\displaystyle U=\ln(c_{1t})+{\frac {\ln(c_{2t+1})}{1+\rho }}}$ .

Выпуск ${\displaystyle Y}$ описывается следующей функцией:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha }}$ .

Тогда, норма сбережений равна: ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\bar {s}}={\frac {1}{2+\rho }}}$ , а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен : ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ .

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle {\hat {y}}^{*}}$ в этом случае составляет:

${\displaystyle {\hat {y}}^{*}={\hat {k}}^{*\alpha }={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ .

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса , потребление максимально в том случае, если ${\displaystyle f'({\hat {k}}^{*})=n+g+\delta }$ . Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если :

${\displaystyle {\frac {\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }}<n+g+\delta }$ .

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции , то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ в зависимости от ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}}$ посредством разложения в ряд Тейлора :

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}\approx {\hat {k}}^{*}+{\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*})}$ .

Если обозначить производную в точке равновесия ${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}}$ , то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$ .

Для рассматриваемого случая, ${\displaystyle \lambda =\alpha }$ , потому:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})=\alpha ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$ .

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от ${\displaystyle \alpha }$ — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые .

Фискальная политика в модели

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ сдвигается вниз на величину ${\displaystyle {\hat {G}}_{t}={\hat {T}}_{t}}$ — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки ${\displaystyle A}$ (устойчивое равновесие) в точку ${\displaystyle B}$ (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}:{\hat {k}}_{B}^{*}<{\hat {k}}_{A}^{*}}$ и потребления. Появившаяся третья равновесная точка ${\displaystyle C}$ является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется . Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции .

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениями . Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони , а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентом . В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда ${\displaystyle \rho =0}$ . Динамическая неэффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро . Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономике .

Пол Самуэльсон использовал данную модель для исследования влияния распределительной пенсионной системы на общее экономическое равновесие. В работе показано, что, если в экономике установилось динамически неэффективное равновесие с избыточным накоплением капитала, то распределительная пенсионная система позволяет перейти к более оптимальному распределению ресурсов с более высоким потреблением . Если же используется накопительная пенсионная система, то экономическое равновесие остается прежним .

Модификация модели с непрерывным временем, в которой жизнь индивида не делится на периоды молодости и старости, однако индивид может умереть в любой момент с некоторой вероятностью, была разработана Менахемом Яари и Оливье Бланшаром . Из-за того, что в этой модификации вероятность смерти индивида не меняется с возрастом, она получила название «модель вечной молодости» . В ней существует единственное равновесное значение капиталовооружённости, которое при этом устойчиво, и так же, как и в основном варианте, присутствует возможность избыточного накопления в точке равновесия .

В целом, модель пересекающихся поколений более реалистично описывает общее экономическое равновесие и процесс его достижения, чем модели Солоу или Рамсея — Касса — Купманса . Преимуществом модели является возможность динамической неэффективности, однако в модели она связана с избыточным накоплением капитала, которое не является типичной проблемой развивающихся стран, напротив, характеризующихся недостаточным накоплением капитала . К тому же, модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса , Дж. Де Лонга , П. Ромера . Также, как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, научно-технический прогресс в модели пересекающихся поколений не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Потому, при всех своих достоинствах, модель не даёт ответа на вопрос, почему одни страны богатые, а другие — бедные, и почему вторые не могут догнать первых .

Примечания

Литература

• Аджемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС , 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9 .
• Барро Р. Д. , Сала-и-Мартин Х. . — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4 .
• Бланшар О. Ж. , Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС , 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5 .
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М. : Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2 .
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М. : ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6 .
• _en . // (англ.) ( . — 1989. — Vol. 97, № 6 . — P. 1447—1458. — doi : .
• Blanchard O. J. // (англ.) ( . — 1985. — Vol. 93, № 2 . — P. 223—247. — doi : .
• De Long J. B. // (англ.) ( . — 1988. — Vol. 78, № 5 . — P. 1138—1154.
• Diamond P. A. // (англ.) ( . — 1965. — Vol. 55, № 5 . — P. 1126—1150.
• Hall R. E. , Jones C. I. // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812 . — doi : .
• Romer P. M. // NBER Working paper. — 1989. — № 3173 . — doi : .
• Samuelson P. A. // (англ.) ( . — 1958. — Vol. 66, № 6 . — P. 467—482. — doi : .
• Samuelson P. A. // (англ.) ( . — 1975. — Vol. 16, № 3 . — P. 539—544. — doi : .
• Yaari M. E. // (англ.) ( . — 1965. — Vol. 32, № 2 . — P. 137—150. — doi : .