Interested Article - Уравнение Кадомцева — Петвиашвили

Пересекающиеся волны , состоящие из почти кноидальных волновых шлейфов. Фотография сделана с в западной точке острова Ре , Франция, в Атлантическом океане . Взаимодействие таких около- солитонов на мелководье может быть смоделировано с помощью уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В математике и физике , уравнение Кадомцева-Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП ) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения . Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:

\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0

где $\lambda =\pm 1$ . Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения , x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо . Оно также может быть решено с помощью , как и нелинейное уравнение Шрёдингера .

История

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.

Связь с физикой

Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией . Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами , используется $\lambda =+1$ ; если же поверхностное натяжение сильное, то $\lambda =-1$ . Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).

Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах , а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна .

Ограниченность

Для $\epsilon \ll 1$ , типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны $O(1/\epsilon )$ , что даёт сингулярный предельный режим в виде $\epsilon \rightarrow 0$ . Предел $\epsilon \rightarrow 0$ называется пределом.

Если мы также предположим, что решения не зависят от y при $\epsilon \rightarrow 0$ , то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса :

\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — $O(\epsilon )$ — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа .

См. также

Примечания

Абдул-Маджид Вазваз. (англ.) // Applied Mathematics and Computation. — 2007-07. — Vol. 190 , iss. 1 . — P. 633–640 . — doi : . 15 мая 2023 года.
И Ченг, И-шен Ли. (англ.) // Physics Letters A. — 1991-07. — Vol. 157 , iss. 1 . — P. 22–26 . — doi : . 1 апреля 2022 года.
Вэнь-Сюй Ма. (англ.) // Physics Letters A. — 2015-09. — Vol. 379 , iss. 36 . — P. 1975–1978 . — doi : . 17 октября 2022 года.
Юдзи Кодама. // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004-11-19. — Т. 37 , вып. 46 . — С. 11169–11190 . — ISSN . — doi : .
Шу-фанг Дэн, Дэн-юань Чэнь, Да-цзюнь Чжан. (англ.) // Journal of the Physical Society of Japan. — 2003-09-15. — Vol. 72 , iss. 9 . — P. 2184–2192 . — ISSN . — doi : . 22 октября 2022 года.
Марк Дж. Абловиц, Харви Сегур. (англ.) . — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1981-01. — ISBN 978-0-89871-174-5 , 978-1-61197-088-3.
Херв Леблонд. (англ.) // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002-11-29. — Vol. 35 , iss. 47 . — P. 10149–10161 . — ISSN . — doi : . 20 октября 2022 года.
Захаров, В. Е. Бесдисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях // Сингулярные пределы дисперсионных волн. — Бостон : Springer, 1994. — P. 165–174. — ISBN 0-306-44628-6 .
Страчан, И. А. (1995). "The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.) . 28 (7): 1967. arXiv : . doi : .
Такасаки, К.; Такебе, Т. (29.06.1994). "Integrable hierarchies and dispersionless limit". Reviews in Mathematical Physics . 7 (5): 743—808. arXiv : . doi : . {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= ( справка ) Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) ( ссылка )

Литература

Кадомцев, Б. Б.; Петвиашвили, В. И. (09.02.1970). "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР . 15 : 539—541. Bibcode : . {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= ( справка ) Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) ( ссылка ) . Translation of "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР . 192 : 753—756. 09.02.1970. {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= ( справка )
Кодама, Ю. KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns : [ англ. ] . — Springer, 2017. — ISBN 978-981-10-4093-1 .
Лу, С.-Ю.; Ху, С.-Б. (21.03.1997). "Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation". Journal of Mathematical Physics (англ.) . 38 (12): 6401—6427. doi : . {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= ( справка ) Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) ( ссылка )
Минцони, А. А.; Смит, Н. Ф. (Ноябрь1996). . Wave Motion (англ.) . 24 (3): 291—305. doi : . {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= ( справка ) Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) ( ссылка )
Накамура, А. (12.09.1988). "A bilinear N-soliton formula for the KP equation". Journal of the Physical Society of Japan (англ.) . 58 (2): 412—422. doi : . {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= and |year= / |date= mismatch ( справка )
Превиато, Эмма (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Сяо, Т.; Цзэн, Ю. (30.06.2004). "Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.) . 37 (28): 7143. arXiv : . doi : . {{ cite journal }} : Проверьте значение даты: |date= ( справка ) Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) ( ссылка )

Ссылки

Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Джони Биондини и Дмитрий Пелиновский. (англ.) . Scholarpedia.
Бернар Деконинк. (англ.) . University of Washington , Department of Applied Mathematics. Дата обращения: 20 октября 2022. Архивировано из 6 февраля 2006 года.